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什么是有界函数在线播放_什么是有界函数定义(2024年12月免费观看)

内容来源：云川SEO所属栏目：导读更新日期：2024-12-02

什么是有界函数

高数小课堂：无穷大与无穷小那些事儿 𐟌Ÿ 嘿，大家好！今天咱们来聊聊高数里那些让人头疼的无穷大和无穷小。别担心，我会尽量讲得简单易懂，收藏起来慢慢看吧！无穷小是什么鬼？𐟘𑊊首先，无穷小是啥？简单来说，如果一个函数的极限为0，那么当x趋近于某个值时，这个函数就变成了无穷小。举个例子，f(x) = 1/x，当x趋近于无穷大时，f(x)就变成了0，所以它是无穷小。无穷大的定义𐟚€ 那无穷大呢？如果当x趋近于某个值时，函数的极限是正无穷或负无穷，那么这个函数就是无穷大。比如说，f(x) = 1/x^2，当x趋近于0时，f(x)趋近于正无穷，所以它是无穷大。无穷小与无穷大的关系𐟔„ 这两者之间有个有趣的关系。其实，无穷小和无穷大可以互为倒数。比如说，f(x) = 1/x是无穷小，那么f(1/x) = x就是无穷大。反过来也是一样的。一些有趣的性质𐟧 有限个无穷小的和还是无穷小：这个其实挺好理解的，就像你有一堆无限小的钱，不管你怎么加，总数还是无限小。无穷小与有界函数的乘积是无穷小：这个有点绕，但记住就好啦。无穷大加无穷大不一定是无穷大：这个有点反直觉，但数学就是这么奇妙。总结𐟓 总的来说，无穷大和无穷小是高数里两个非常有趣的概念。它们虽然看起来很吓人，但其实只要掌握了基本原理，一切都会变得简单起来。希望这篇文章能帮到你们，加油！

𐟌Ÿ2024年四川专升本真题与考点解析𐟌Ÿ ✨2024年是四川专升本改革的第一年，对于2025年专升本的同学来说，2024年的真题具有极高的参考价值。真题是备考过程中不可或缺的一部分，它不仅能帮助考生了解考试形式和题型，还能检验学习成果，提高解题能力和应试技巧。此外，通过真题还能增强信心，发现命题规律和趋势。 𐟑‰学姐为大家整理了2024年全科真题和考点分析，包括大学语文、高等数学、大学英语和计算机基础。以下是部分真题和考点总结： 𐟓š大学语文选择题：考察了造字法、修辞手法、字词含义等知识点。例如，“比”字属于《说文解字》所说“六书”中的什么造字法？答案是C.会意。 𐟓高等数学选择题：考察了函数的性质、极限、连续性等知识点。例如，函数y=在定义域内是什么函数？答案是B.有界偶函数。 𐟓˜大学英语单选题：考察了词汇和语法知识。例如，成都美丽的城市，是四川省的省会。答案是A.a capital。 𐟒𛨮᧮—机基础选择题：考察了计算机基础知识，如ASCII码、UTF-8编码等。例如，UTF-8是一种可变长度的Unicode字符编码吗？答案是A.正确。通过这些真题和考点总结，希望能够帮助大家更好地备考2025年四川专升本考试！

连续、有界、可积之间的关系详解 ### 连续与有界的关系 𐟓‰ 首先，我们来看看连续和有界之间的关系。连续函数一定有界：如果函数在闭区间上连续，那么它在该区间上一定有界。这是因为连续函数在闭区间上能取到最大值和最小值，所以函数值必然在最大值和最小值之间，即函数有界。例如，函数 \( f(x) = \sin x \) 在区间 \([-\pi, \pi]\) 上连续，且值域在 \([-1, 1]\) 之间，所以 \( f(x) \) 在该区间上有界。有界函数不一定连续：虽然有界函数是对函数值范围的限制，但它并不能保证函数的连续性。例如，狄利克雷函数 \( D(x) = 1 \) 当 \( x \) 是有理数，且 \( D(x) = 0 \) 当 \( x \) 是无理数，在整个实数域上是有界的，但在任意一点处都不连续。连续与可积的关系 𐟓ˆ 接下来，我们探讨一下连续和可积之间的关系。连续函数一定可积：如果函数在闭区间上连续，那么它在该区间上一定可积。因为连续函数的图像是一条连绵不断的曲线，不存在无限大的跳跃或间断，所以可以通过分割、求和、取极限的方式来计算定积分。例如，函数 \( f(x) = x^2 \) 在区间 \([0, 1]\) 上连续，那么 \( f(x) \) 在 \([0, 1]\) 上可积。可积函数不一定连续：虽然可积函数不一定是连续函数，但如果函数在闭区间上有界，且只有有限个间断点，那么该函数在闭区间上也是可积的。例如，函数 \( f(x) = 1 \) 当 \( x \) 是有理数，且 \( f(x) = 0 \) 当 \( x \) 是无理数，在整个实数域上有界，但在任意一点处都不连续，但它在任何区间上的积分值都可以用常规的黎曼积分方法来计算。有界与可积的关系 𐟓Š 最后，我们看看有界和可积之间的关系。可积函数一定有界：可积函数一定是有界的。这是黎曼可积的必要条件，因为如果函数无界，那么在进行积分时，无法保证积分的和是有限的，也就不满足可积的定义。有界函数不一定可积：虽然有界函数可以保证在一定范围内取值，但它并不一定可积。例如，狄利克雷函数虽然在任何区间上的积分值都无法用常规的黎曼积分方法来计算。案例分析 𐟔 现在我们来分析一个具体的例子：判断函数 \( f(x) = \sin x \) 在区间 \([-1, 1]\) 上的可积性。分析：需要判断函数在给定区间上的连续性和间断点情况。解答：当 \( x = 0 \) 时，\( f(x) = \sin x \) 是连续的；当 \( x \to 0 \) 时，\( f(x) \to 1 \)，而 \( f(0) = 1 \)，所以函数在 \( x = 0 \) 处连续。因此，\( f(x) \) 在区间 \([-1, 1]\) 上连续，根据连续函数必可积的结论，\( f(x) \) 在该区间上可积。

数学分析笔记：从基础到进阶 ### 数列极限 𐟚€ 实数系的连续性：确界原理、Dedekind分割原理、Stolz定理、收敛准则（单调有限定理、柯西收敛准则、Bolzano-Weierstrass定理）、闭区间套定理、归结原则。两个重要的极限：连续函数的定义，第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点），第二类间断点（无穷间断点或振荡间断点）。函数极限的性质 𐟓ˆ 唯一性：函数极限在自变量趋近于某个值时，极限值是唯一的。局部保号性：函数在某点的极限与函数在该点的值符号相同。局部保序性：函数在某点的极限与函数在该点的值大小关系一致。局部有界性：函数在某点的极限与函数在该点的值都存在且有限。两边夹准则：函数被两个极限相同的函数夹在中间，其极限也存在且与这两个函数相同。无穷小量和无穷大量阶的判断：闭区间上的连续函数具有有界性、最值性、零点、介值性、一致连续性。反证法是一种有效的证明方法。区分一致连续和点点连续。一元微分 𐟓 代数学基本定理：一元n次多项式在复数域上有n个解。微积分基本定理：NL公式，可导一定连续，可导等价于可微。复合函数求导（链式法则）：复合函数的导数等于内层函数和外层函数的乘积。隐函数求导：隐函数的导数可以通过隐函数定理求解。一阶微分方程不变性：微分方程的解与自变量的变化无关。微分中值定理及其应用 𐟔 费马引理（Fermat）：极值点的导数为0。罗尔定理（Rolle）：函数在区间两端相等，中间有一点导数为0。拉格朗日定理（Lagrange）：中间导数等于斜率。柯西中值定理（Cauchy）：引入了两个函数，凹凸函数，不等式（三角不等式、均值不等式、Jensen不等式、Young不等式、Holder不等式）。洛必达法则：实际上是柯西中值的推广应用。泰勒展开：Peano余项和Lagrange余项。不定积分 𐟌 换元积分法（第一类和第二类）：通过换元法求解不定积分。分步积分法：分步积分法适用于被积函数包含不同类型项的情况。有理函数积分法：有理函数的积分可以通过部分分式法进行。定积分 𐟓Š 分割、近似、求和、取极限：黎曼可积，Darboux上和等于下和（上和不增，下和不减），必要条件是函数有界。基本性质：线性性、保序性、区间可加性、积分第一中值定理。反常积分、瑕积分、二元无穷限积分：通过求Cauchy主值的方法判断积分收敛的方式（Cauchy判别法、比较判别法、A-D判别法）。 PS: 闭区间上的连续函数一定可积且有界且一致连续，闭区间上的单调函数一定可积。点火公式要记住（sin和cos的n次方在0到2上的积分，考虑n为偶和n为奇，偶的时候从1/2开始要乘2，奇的时候从1开始）。

素数的有界距离4000万与7000万最近有两则报导，一是“最大素数诞生：2的136279841次方−1！数千GPU算出4100万位”。采用的是黎曼s=-2n自然数序“偶奇相邻”——“偶数-1”推算，从而得到了4100万位上的素数是2的136279841次方−1。即每“位”素数起始在奇偶关系“偶数=偶-（偶-1）+1”中。二是“素数的有界距离7000万”，但没有给出7000万位上素数是什么？这是采用倒推方式，由距离7000万位…→4680位…→600位…→2位，来证明孪生素数猜想。黎曼函数s=-2n（非偶数、与象限无关）有界距离是个“偶间隔度量”概念。从偶度量到偶数量需转换，在于自然数与自然数序有“0偶、1奇”差别。转化规则:1偶间隔度量单位㗲（□两点）=1偶间隔度量单位数量=2（偶数），即所有偶间隔度量数量2n=（0，2，4，6…2n）。这里s与s=-2n意义不同。黎曼函数构造在“解析+图像+列表”（图）三种函数表达方式中（数学界习惯于解析），能够共同表达黎曼函数构造的则是列表方阵。黎曼猜想是个证明自然数序存在且唯一的猜想（相对素数，证明自然数序是关键），素数在奇数中。无限阶四色双轴对称方阵△在（0，1）幅度闭区间（注意，这里的[0，1]开区间与（0，1）闭区间符号与数学常见相反，是为强调区间端点的重要牲），不但0点单值实证黎曼猜想（图4），而且等差多值印证自然数序存在且唯一（图5→图1~图13）。从而采用偶间隔度量法转换规则，使公认自然数与自然数序归一（公认自然数对偶奇相邻、等差、十进制、无限没有证明）。自然数序位数增加，素数越来越少。素数在奇数中，是个摡率事件，机率“奇+奇≥奇+素≥素+素”。从素数的有界距离4000万与7000万相比较来看，计数素数的有界距离7000万到2的证明过程有漏洞。一是素数轨迹脱离自然数序“偶奇相邻”规律；二是不能实现“0偶间隔、1奇数个”自然数序存在；三是方阵△共阵的（0，1）*区间端点重合靠近“1”位置，是郎道0点时隐时现引导自然数序存在且唯一（自然数序△四方延拓无限，但总在腰边（0，1）*闭区间端点）。（作者李传学）

专升本高数技巧：判断函数与解题方法 𐟓š 判断两函数是否相同在专升本的高数学习中，判断两个函数是否相同是一个常见的题目。你需要比较它们的定义域、值域和对应法则。例如，对于函数f(x) = x^2和g(x) = 2x^2，虽然它们的定义域和值域相同，但对应法则不同，因此它们不是相同的函数。 𐟓ˆ 判断函数有界记住函数的图像可以帮助你判断函数是否有界。例如，对于函数f(x) = 1/x，当x趋近于无穷大时，f(x)趋近于0，因此这个函数是有界的。 𐟔„ 消ln用e，消e用ln 在解题过程中，有时候需要将ln转化为e，或者将e转化为ln。例如，对于函数f(x) = e^x，你可以将其转化为f(x) = ln(e^x)来简化计算。 𐟓 加入到哥专升本数学刷题营如果你想要在专升本高数中取得好成绩，不妨加入到哥专升本数学刷题营，与其他同学一起学习，共同进步。通过大量的练习和讨论，你可以更好地掌握高数的各种技巧和方法。 𐟔 细节分析在解答高数题目时，细节非常重要。例如，对于函数f(x) = x + 1和g(x) = x + 2，虽然它们的定义域和值域相同，但对应法则不同，因此它们不是相同的函数。记住这些细节可以帮助你更好地理解和掌握高数的本质。

𐟓ˆ可导、连续、可积、偏导之间的关系𐟔 𐟔在数学的世界里，函数的各种性质之间有着微妙的关系。让我们一起来探索这些关系吧！ 𐟓Œ首先，可导的函数一定是连续的，但连续的函数不一定可导。这意味着，函数的连续性是可导性的必要条件，但不是充分条件。 𐟓Œ接下来，连续的函数一定是可积的，但可积的函数不一定连续。这告诉我们，可积性是连续性的充分条件，但不是必要条件。 𐟓Œ此外，连续的函数一定有界，但有界的函数不一定连续。这表明，函数的连续性是其有界性的必要条件，但不是充分条件。 𐟓Œ最后，可微的函数一定是连续的，但连续的函数不一定可微。这意味着，可微性是连续性的充分条件，但不是必要条件。 𐟔探索这些关系，我们可以更深入地理解函数的性质，感受数学的魅力。每个函数都有其独特的性质和内涵，等待我们去发现！

无穷小的三大基本性质无穷小在数学分析中有着重要的地位，它涉及到许多微妙的性质。以下是无穷小的三个基本性质：有限个无穷小的和、差、乘积仍然是无穷小：这意味着，如果你有多个无穷小的量，它们的和、差或乘积仍然是无穷小。有界函数与无穷小的乘积是无穷小：即使一个函数是有界的，但它与无穷小的乘积仍然是无穷小。常数与无穷小的乘积是无穷小：无论常数是多少，它与无穷小的乘积都是无穷小。这些性质在解决各种数学问题时非常有用，特别是在微分和积分的应用中。理解这些性质可以帮助你更好地掌握无穷小的概念，从而更好地应用它们来解决实际问题。

专升本数学自学指南：必掌握知识点 𐟓š 定积分理解定积分的概念和几何意义，掌握其基本性质。掌握变限积分函数的概念，并学会求导方法。熟悉牛顿—莱布尼茨公式。掌握定积分的换元积分法和分部积分法。了解无穷区间上有界函数的广义积分和有限区间上无界函数的瑕积分的概念，掌握计算方法。会用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积。 𐟔 无穷级数数项级数理解级数收敛和发散的概念，掌握级数的基本性质和收敛的必要条件。熟记几何级数、调和级数和p—级数的敛散性，会用正项级数的比较审敛法和比值审敛法判别敛散性。理解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，会用莱布尼茨判别法判别交错级数的敛散性。幂级数理解幂级数、幂级数收敛及和函数的概念，会求幂级数的收敛半径与收敛区间。掌握幂级数和、差、积的运算。掌握幂级数在其收敛区间内的基本性质：和函数是连续的、可逐项求导及可逐项积分。熟记麦克劳林级数，会将一些简单的初等函数展开为x－x0的幂级数。 𐟒ᠥ𘸥𞮥ˆ†方程一阶常微分方程理解常微分方程的概念，掌握阶、解、通解、初始条件和特解的概念。掌握可分离变量微分方程与齐次方程的解法。会求解一阶线性微分方程。二阶常系数线性微分方程理解二阶常系数线性微分方程解的结构。会求解二阶常系数齐次线性微分方程。会求解二阶常系数非齐次线性微分方程。 𐟓 向量代数与空间解析几何向量代数理解向量的概念，掌握向量的表示法，会求向量的模、非零向量的方向余弦和非零向量在轴上的投影。掌握向量的线性运算（加法运算与数量乘法运算），会求向量的数量积与向量积。会求两个非零向量的夹角，掌握两个非零向量平行、垂直的充分必要条件。平面与直线会求平面的点法式方程与一般式方程，判定两个平面的位置关系。会求点到平面的距离。会求直线的点向式方程、一般式方程和参数式方程，判定两条直线的位置关系。会求点到直线的距离，两条异面直线之间的距离。会判定直线与平面的位置关系。

高数每日一题：如何证明函数有界 𐟓š 有界性的定义：如果函数f(x)的定义域为D，并且存在一个正数M，使得对于任意x∈D，都有|f(x)|≤M，那么我们就说f(x)在D上有界。 𐟔 判断函数有界的方法：观察函数的图像，看看是否所有值都限制在某个范围内。计算函数的极值，如果极值存在且有限，那么函数可能是有界的。利用已知的数学性质或定理，比如单调性、连续性等，来证明函数的有界性。 𐟌𐠤𞋥悯𜌨€ƒ虑函数f(x)=xsin(x-2)在区间(0,1)上的有界性。我们可以通过观察函数的图像，发现当x在(0,1)区间内变化时，f(x)的值始终被限制在某个范围内，因此可以判断该函数在(0,1)区间内有界。 𐟒ᠦŠ€巧提示：在证明函数有界时，注意找到函数的最大值和最小值，这通常是通过找到函数的极值点来实现的。利用已知的数学定理和性质，比如函数的单调性或连续性，来简化证明过程。 𐟓 练习：尝试证明函数f(x)=xsin(x-2)在区间(1,2)上是否有界。利用已知的数学性质或定理，比如单调性、连续性等，来证明函数的有界性。 𐟔 通过这些步骤，你可以逐步掌握如何证明函数有界的方法，从而更好地理解和应用高数中的相关概念。

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