实对称矩阵特征值(实对称矩阵特征值正交)

内容来源：云川SEO更新时间：2024-05-05 03:43:49

我们的主要结论是实对称矩阵的特征值全部是实数。实对称矩阵可以取到 n 个正交的特征实向量。原因为什么所有实对称矩阵的特征值全部是实数尼？我们只用对比 Ax =  ( Ax =  ( 即可，其中下式是上式两边共轭的结果。其实从这里也能看出，任意实矩阵 A, 如果 是其特征值，则 也是它的特征值，他们的特征向量互为共轭。我们还知道 A = A⊤, 因此由 ( 有 x⊤A = ⊤ ( ( 左乘 x⊤, ( 右乘 x 有 x⊤Ax = ⊤x Since x⊤x = 我们有 =  即 是实数。复数矩阵 A: 从上面的推导也可以看出，我们其实是在比较 ( 和 ( 的共轭转置。搜索结果实对称矩阵的相似，对角化，正定，特征值等性质，定理的部分汇总及证明实对称矩阵即实数域上的对称矩阵，在可对角化，特征值，二次型，正定矩阵章节部分都频繁的涉及到，知识点繁多，相互联系。本文章将对丘维声《高等代数学习指导书上册》第五六实对称矩阵的特征值都是实数 2 实对称矩阵不同特征值的实特征向量相互正交文章浏览阅读46k次，点赞5次，收藏8次。 1 实对称矩阵的特征值都是实数2 实对称矩阵不同特征值的实特征向量相互正交_实对称矩阵的特征向量之间的关系特征值与特征向量 A x = x ( ∈ C, x ≠ 0 ) 基本性质 ( Ax = x ⇒ ( A − I ) x = ( −) x ( Ax = x A A k x =  x ( B = P − 1 AP , Ax = x ⇒ By = y , ( 若A 对称,则存在正交矩阵Q,使得 Q T AQ =689 10 个回答默认排序侯鹏学生 23 人赞同了该回答可以猜吧，大多数解都有1 把1 带进去成立又因为trA＝66 66-1＝65 后面又有XⲠ两个特征值的平方和是65去猜刚好4Ⲡ7Ⲧ˜ﶵ 也就是16 和 49是他的两个特征值我是看答案推的。感谢宇哥发布于 2020-06-14 36 YJX 未来可期你若盛开清风自来 20 人赞同了该回答哇撒，感动到想哭，居然有人和我一样是这个不知道怎么简便计算出来的T^T，因为这题我都没兴趣做接下来的。发布于 2019-11-15 24 闲闲说新公理能推断出什么定理，不如说它们只能承认那些现成的定理 2 人赞同了该回答<性质3> 设A是实对称矩阵，存在正交对称阵U和对角阵W使得U’AU=W，其中W对角线的元素是A的特征值，而U的列向量是A的特征向量。 <性质4> k重特征值对应的线性无关的特征向量恰有k个。该定理在网上有很多看起来简单的证明，然而并不正确，教材中认为它的证明需要超纲的知识，略去证明。其实利用性质3的结论可以给出比较基础的证明。畋惑文章浏览阅读4w次，点赞28次，收藏101次。花了一下午终于把实对称矩阵的几个定理的证明都搞定了，定理很简单，证明起来却十分之费事，用的都是十分基础而经典的证明手段，这破编辑器还不能写公式，直接截图了。所有特征值都为实数。某百科里还认为所有特征向量都是实特征向量，这是不对的，简单的例子就是A是一阶方阵的时候，, x可取任何复数。求解实对称矩阵全部特征对常用的办法： JACOBI 方法、广义JACOBI 方法 QL方法，QR方法求解大规模实对称矩阵特征值问题的部分特征对的常用办法：子空间迭代法（及其变种） Lanczos迭代法（及其变种） Ritz向量法（及其变种）实对称矩阵如果有n阶矩阵 A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji），（i,j为元素的脚标），则称A为实对称矩阵。 1实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。 2实对称矩阵A的特征值都是实数。 3n阶实对称矩阵A必可实对称矩阵，一定有 n 个解，因为实对称矩阵特征值都是实数，因此一共有 n 个实特征值（包括重特征值）—— 性质 1 不同特征值对应的特征向量正交，相同特征值也一定存在对应的正交向量 —— 性质 3 实对称矩阵，一定有 n 个正交特征向量，因此可以特征值分解，即该性质成立