向量的点乘(向量点乘公式)

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式： 推导过程如下，首先看一下向量组成： 定义向量： 根据三角形 余弦定理 有： 根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有： 即： 向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角𜚠根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。 从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交 (也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为： aⷢ>0 方向基本相同，夹角在0Ⱕˆ𐹰Ⱔ𙋩—𔠡ⷢ=0 正交，相互垂直 aⷢ<0 方向基本相反，夹角在90Ⱕˆ𐱸0Ⱔ𙋩—𔠥‰乘公式 两个向量的叉乘 ，又叫向量积、外积、 叉积 ，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。向量的点乘 点乘指： vec {a}ⷶec {c} ， 两个向量的点乘，将得到一个数量（数值） 注意：两个向量的点乘，不会得到一个新的向量 对比：一个实数㗤𘀤𘪥‘量=一个新的向量，这个乘法叫做数乘 点乘，一般也叫两个向量的内积，点乘和内积涵义相同，两种表述而已 向量的点乘如何计算 点乘计算公式：若存在两个向量 vec {a},vec {c} vec {a}ⷶec {c}=||vec {a}||㗼|vec {c}||㗣ostheta= 一个具体的数量（数值） 如果两个相同的向量相乘：此时两个向量的夹角为0，即 costheta=1通常情况下会将向量放到坐标系中，常用的是 笛卡尔坐标系 ，向量起始点通常放到原点（ 注：没有固定的起点，只要方向相同，大小相等，就认为两向量是相同的，但为了用 数值坐标 来表示向量，将起始点放到原点 ），因此，三维向量可以写成如下形式： 11 向量加法 ： 几何图形： 用坐标值进行相加（从图中可以看出，分别是两向量坐标值的相加）： 12向量减法： 定义了加法，减法很显然了，比如上图中， 13 向量数乘 （向量的伸缩，如果a为负，代表反向）： 14 点积 （对应元素相乘相加） 结果是一个数！ 几何意义：投影 为什么数值计算的结果就代表几何上的投影呢？点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影 ，有公式： a ⷠb = |a||b|cos ( ˜縷‘量 a 和向量 b 见的夹角。 这里|a|我们称为向量a的模 (norm)，也就是a的长度， 在二维空间中就是|a| = sqrt (x2+y。 这样我们就和容易计算两条线的夹角： cos ( = aⷢ / (|a||b|) 对于推导过程可以稍微利用余弦定理如下， 首先看一下向量组成： 定义向量： c = a - b 根据三角形余弦定理有： 根据关系 c = a - b （ a、b、c 均为向量）有： 向量 a，b 的长度都是可以计算的已知量，从而有 a 和 b 间的夹角𜚠根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。搜索结果叉乘的结果是 向量 ： 该向量的模值与 vec {a}, vec {b} 构成的平行四边形面积相等，即 |vec {a} times vec {b}|=|vec {a}| |vec {b}||sin (theta)| 该向量的方向垂直于 vec {a}, vec {b} 构成的平面，用右手螺旋性质确定 运算特性： vec {a} times vec {b}=-vec {b} times vec {a} vec {a} times vec {a}=0 vec {a} times (vec {b}+vec {c})=vec {a} times vec {b} + vec {a} times vec {c}向量点乘的实质是什么？ 写回答 数学 代数 线性代数 向量点乘的实质是什么？ 为什么两个向量点乘等于两个向量的模乘夹角的余弦值？ 其在现实世界的意义是什么？ 显示全部 关注者 171 被浏览 319 27 个回答 默认排序 冷月孤想alan 华北电力大学 工学硕士 39 人赞同了该回答 从数学上说 alpha cdot beta=left| alpha right| left| beta right| costheta 只是对于n维数域的向量的一种内积的定义。 想要搞清楚点乘，我们最好先从内积开始讲起。 数学上，如何定义内积呢？向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*或一个1行n列（1*n）的有序数组； 向量的点乘,也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b： a和b的点 向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。 与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。点乘（Dot Product） 的结果是 点积 ，又称 数量积 或 标量积 （Scalar Product）。 在空间中有两个向量： vec a= (x_y_z_ ， vec b= (x_y_z_ ， vec a 与 vec b 之间夹角为 theta 。 从代数角度看，点积是对两个向量对应位置上的值相乘再相加的操作，其结果即为点积

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