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如何证明可导权威发布_如何证明可导性(2024年12月精准访谈)

内容来源：云川SEO所属栏目：观点更新日期：2024-12-02

如何证明可导

ln的定义域如何求函数的定义域？考试常考的定义域类型：分式的分母不能为零；偶数次根式的被开方式大于等于零；对数函数的真数必须大于零；反正弦和反余弦函数的定义域为[-1,1]。判定极值的第一充分条件：判断驻点和一阶不可导点左右两侧附近一阶导函数是否变号：如果一阶导函数变号，则一定是极值点；如果不变号，一定不是极值点。判定极值的第二充分条件：已知f'(x)=0,f"(x)0,则：如果f"(xo)>0,则x=xo是f(x)的极小值点；如果f"(xo)<0,则x=xo是f(x)的极大值点。利用单调性证明不等式：例如：证明当x>0时，ln(1+x)>x。证明当x>0时，e^x>1+x。

高数第二章：一元函数微分学全攻略 𐟌ˆ 一元函数微分学包括两个主要部分：导数与微分，以及导数的应用。 𐟌ˆ 第一节：导数与微分导数和微分的基本概念要清晰。可微性与可导性的等价关系。导数的几何意义：导数是切线的斜率，微分是切线上的增量。连续、可导、可微之间的关系要明确。求导公式要熟练，六种求导法则要掌握：复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、对数求导法、高阶导数求导。 𐟌ˆ 第二节：导数应用几种中值定理要理解。极值和最值问题。曲线的拐点与凹向。三种渐进线的求法以及曲率。 𐟌ˆ 题型分类概念题：利用概念解题。导数几何意义题。导数与微分计算题：重点考察求导法则。单调性、极值、最值问题。曲线的凹向、拐点、渐进线和曲率。根的存在问题。证明函数不等式。微分中值有关证明题。 𐟌ˆ 笔记中的题目要多做，通过做题巩固知识点，提高效率。

连续、可积与原函数的关系解析 𐟓š 在微分学的世界里，可导是函数的王者，但在多元微分中，可微才是老大。这次，终于轮到连续函数登场了！𐟎‰ 𐟌Ÿ 连续、可积与原函数的关系有些同学对“可积”和“原函数存在”之间的关系感到困惑。其实，关键在于理解可积和原函数本身并没有直接联系。尽管它们都涉及到积分的概念，但不定积分主要关注的是“原函数”和“不定积分”这两个概念，而定积分则是“和式的极限”。 𐟓 关于“连续必可积”等结论的证明不需要纠结于证明过程，因为证明过程可能比较复杂。记住结论即可，这样在实际应用中会更加方便。希望这些总结能帮助你更好地理解连续、可积与原函数之间的关系！𐟒က

25考研数二重点题型汇总，去年很准！没想到我发的数三重点题型汇总竟然引起了大家的广泛关注！有学弟学妹让我分享一下数二的重点题型，今天它来了！大家可以按照这个重点汇总进行针对性复习，虽然去年很准，今年有变化，但大差不差。间断点、渐近线、奇偶性这部分内容在历年考试中都有涉及，特别是间断点和渐近线的判断。建议大家多做一些相关的练习题，熟悉这些题型。带变限的极限求法这部分内容需要一些技巧和方法，比如洛必达法则和夹逼准则。多做几道题目，掌握这些方法，考试时就能游刃有余。高阶导数高阶导数的计算也是重点之一，特别是当函数比较复杂时。建议大家多做一些计算题目，熟悉各种高阶导数的计算方法。不可导点判断这部分内容需要一些判断力和推理能力。建议大家多做一些题目，熟悉各种不可导点的判断方法。分部系数可导性这部分内容需要一些分部积分的技巧和方法。建议大家多做一些题目，熟悉各种分部积分的计算方法。中值定理证明这部分内容需要一些证明技巧和方法。建议大家多做一些题目，熟悉各种中值定理的证明方法。极值、拐点判断这部分内容需要一些函数图像和导数的知识。建议大家多做一些题目，熟悉各种极值和拐点的判断方法。有理函数不定积分计算这部分内容需要一些积分技巧和方法。建议大家多做一些题目，熟悉各种有理函数的积分计算方法。反极值大小比较这部分内容需要一些比较和推理能力。建议大家多做一些题目，熟悉各种反极值的大小比较方法。参数方程与极坐标方程这部分内容需要一些参数方程和极坐标方程的知识。建议大家多做一些题目，熟悉各种参数方程和极坐标方程的计算方法。一阶微分方程计算这部分内容需要一些微分方程的知识。建议大家多做一些题目，熟悉各种一阶微分方程的计算方法。已知微分方程设特解这部分内容需要一些特解的技巧和方法。建议大家多做一些题目，熟悉各种已知微分方程设特解的计算方法。已知特解求被积方程表达式这部分内容需要一些反求被积方程的技巧和方法。建议大家多做一些题目，熟悉各种已知特解求被积方程表达式的计算方法。二阶微分方程计算这部分内容需要一些二阶微分方程的知识。建议大家多做一些题目，熟悉各种二阶微分方程的计算方法。二阶微分方程大小比较这部分内容需要一些比较和推理能力。建议大家多做一些题目，熟悉各种二阶微分方程的大小比较方法。三重积分与二重积分计算这部分内容需要一些积分技巧和方法。建议大家多做一些题目，熟悉各种三重积分和二重积分的计算方法。特别是画不出图的二重积分题目，需要一些特殊的技巧和方法。偏导数极值问题这部分内容需要一些偏导数和极值的知识。建议大家多做一些题目，熟悉各种偏导数极值问题的解决方法。多元函数的性质变换这部分内容需要一些多元函数的性质变换技巧和方法。建议大家多做一些题目，熟悉各种多元函数的性质变换计算方法。初等变换与初等矩阵这部分内容需要一些初等变换和初等矩阵的知识。建议大家多做一些题目，熟悉各种初等变换和初等矩阵的计算方法。矩阵方程的计算这部分内容需要一些矩阵方程的技巧和方法。建议大家多做一些题目，熟悉各种矩阵方程的计算方法。向量表示性与向量证明这部分内容需要一些向量表示性和向量证明的知识。建议大家多做一些题目，熟悉各种向量表示性和向量证明的解决方法。抽象方程组的求解这部分内容需要一些抽象方程组的技巧和方法。建议大家多做一些题目，熟悉各种抽象方程组的求解方法。相似对角化与特征值求解这部分内容需要一些相似对角化和特征值的知识。建议大家多做一些题目，熟悉各种相似对角化和特征值的计算方法。二次型正交变换与性质变换这部分内容需要一些二次型正交变换和性质变换的技巧和方法。建议大家多做一些题目，熟悉各种二次型正交变换和性质变换的计算方法。希望这些重点题型汇总能帮到大家，祝大家考研顺利！𐟒ꀀ

积分不等式多项式拟合法详解 𐟓š 这道题目是积分不等式证明中的经典例题，几乎所有的考研竞赛数学讲义都会提到。常见的解题思路包括多项式拟合法和泰勒展开法。这里我们采用多项式拟合法进行解答。 𐟔 题目设定：设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上具有二阶导数，且 f(a) = f(b) = 0。 𐟓 解题步骤：构造多项式拟合函数：为了证明积分不等式，我们首先需要构造一个多项式拟合函数。这个多项式需要满足特定的条件，即其在区间 [a, b] 上的积分等于 f(x) 在该区间上的积分。利用分部积分法：通过分部积分法，我们可以将复杂的积分问题转化为简单的代数问题。这样，我们就可以更容易地找到满足条件的多项式。结合题目条件：利用题目中给出的 f(a) = f(b) = 0 的条件，我们可以进一步简化问题。通过构造的多项式，我们可以得到一系列等式，从而证明积分不等式。 𐟓š 这道题目不仅考察了积分不等式的证明方法，还展示了多项式拟合法的应用。通过这个例子，我们可以看到数学中的各种方法是如何相互关联和应用的。

𐟤”张宇第8讲思考要点 𐟒�ž续函数必有原函数，但非连续函数也可能有哦，比如那些含有振荡间断点的函数。 𐟚맄𖨀Œ，对于含有可去间断点、跳跃间断点或无穷间断点的函数，它们是没有原函数的。 𐟔我们可以用反证法来证明这一点。假设这些间断点的函数有原函数，那么这个原函数一定是可导的，且导数值等于函数值。但是，我们通过计算发现，导数值并不等于函数值，这就与我们的假设矛盾了。 𐟒᥏楤–，是否可积与是否有原函数是没有关系的。常义积分可积的3个充分条件都是在闭区间上讨论的，这满足了区间有界，且函数有界的条件，所以定积分存在是显而易见的。 𐟓最后，变限积分的3个性质也很重要。性质1可以通过构造函数连续的定义来证明，即→0时→0，这里的y即变上限积分Fx。证明过程中用到了可积的必要条件、积分的保号性等知识点。

大学数学速成攻略：微积分篇嘿，朋友们！上次我分享了如何用两三天速成大学数学或统计期末考试的方法，没想到还有不少人问我具体该怎么操作。今天我就再来总结一下，顺便举个微积分的例子，希望大家能举一反三，学会方法后每门课的复习都不再是问题。速成方法论 𐟓š 首先，你需要找到老师总结的课程笔记，大概100页以内。如果老师没给，那就去求学霸吧，或者上网搜Oxford这门课的笔记，肯定能找到。花两天时间，每天10小时左右，把笔记看完，定义定理背熟，证明也尽量背下来。然后再花半天时间看看老师布置的作业题和往年试卷，时间不够的话只看思路不用做。微积分的速成要点 𐟓– 看完笔记后，你对这些基本的定义定理有概念吗？比如Epsilon-delta版本的连续、极限、可导、黎曼可积定义，这些定义怎么从一元函数推广到多元函数，尤其是二元函数。还有可导与连续的关系和反例，二元函数如何沿着不同路径求极限和偏导，证明二元函数在某点极限不存在、不连续或者不可导有哪些方法。一元积分怎么做换元尤其是三角变换，分步积分。一元、二元、三元积分的几何或物理意义。两种线积分的物理意义和表示方法，包括换元法（尤其是polar coordinate, cylindrical coordinate, sphere coordinate）在内的计算方法。关于线积分有三大著名定理：Green’s theorem, Stoke’s theorem, Divergence theorem，你能立刻默写出来吗？知道这些定理涉及的vector field, flux, divergent是什么定义，并且能应用到计算题上吗？最后一条，这条本来大家高中都会的但很多人大学就忘了：把你会做的都做对，不会做的放弃。别因为担心漏掉什么没复习的就紧张不敢做题。希望这些方法能帮到你们，祝大家期末考试顺利通过！𐟒ꀀ

数二真题分类汇总：一元函数微分学篇在数二真题中，一元函数微分学的考察点主要集中在以下几个方面：渐近线、极值点、拐点、切线、法线和曲率：这些小题通常涉及导数的定义以及抽象函数的不等式问题。参数方程：参数方程的考察次数非常多，需要熟练掌握。分段函数和复杂函数的求导：大题部分常考察分段函数或复杂函数的求导，以及凹凸区间、极值和最值的求解。重要证明题：证明题也是数二真题中的一大类，主要包括以下几种类型：利用泰勒公式求解：通过泰勒公式进行求解。证明中值定理并使用：利用中值定理进行证明。通过构造函数利用中值定理求解：构造函数并利用中值定理进行求解。利用单调性证明不等式：通过单调性证明不等式。这些是我备考过程中的一些总结，希望对大家有所帮助。加油！𐟒ꀀ

11年数二真题解析与启发 0️⃣ 整体感受：今年的数二真题整体上比较常规，没有特别新颖的题目。不过相比08、09和10年的题目，今年的计算量稍微大一些。 1️⃣ 具体分析： ➡️ 第18题：这道微分方程题我没做出来。其实可以尝试分离变量，但我直接就想到了分离变量，结果做错了。答案最后只给出了y（x），没给定义域。实际上，函数y=arcsinx是有定义域的，而且求导不存在的点应该标出来，因为此时倾斜角𘺹0Ⱟ𜌦–œ率是不存在的。但在解答过程中，答案却略过了这一点。（-10） ➡️ 第19题：第一问答案是用拉格朗日，但如果没想到的话用导数证明也可以，最后令x取正整数。第二问我有点迷糊了，数列收敛的具体概念都有点模糊。（-6） ➡️ 第17题：最后没有代入（x，y），这个最后不要忘记加上赋值。（-2） ➡️ 第22题：第二问我解方程解习惯了，忘了可以直接乘A逆了，不过算也快。 2️⃣ 启发： ➡️ 第21题：这题一开始看很难，但后来发现可以用分部积分来解决，不需要用导数定义。 ➡️ 第12题：这题其实是概率论的知识，是指数分布求期望，直接就是1/𜌤𘍨🇦•𐤺Œ算也能很快算出来。这题告诉我们很多时候用数一的知识能帮助做题，比如幂级数、伽马函数（也不算单数一），还有概率论里的正态分布概率密度，这里还考到了指数分布等等。 3️⃣ 结语：做完这张卷子后，我觉得需要继续强化数列极限这一章。数列极限是数二的一大重难点，23考研到时候可不像十年前那么简单了。另外，我把每道题涉及到的知识点放到P8了，仅供参考。

𐟓š专升本高数备考攻略𐟓– 𐟎“在专升本的高数备考中，导数的应用是一个重要的知识点。今天，我们学习了罗尔定理和拉格朗日中值定理，这两个定理在解决某些数学问题时能起到关键作用。𐟒ኊ𐟔罗尔定理主要用于证明方程的根的存在性，其条件是在给定的区间上函数连续且首尾值相等，且在该区间内可导。利用这个定理，我们可以证明某些方程在特定区间内至少有一个根。𐟌𑊊𐟔而拉格朗日中值定理则用于证明一些简单的不等式。它的条件是在给定的区间上函数连续且在该区间内可导。通过这个定理，我们可以找到函数在该区间内的某个点，使得该点的函数值与首尾值之差与区间长度成正比。𐟒ꊊ𐟓在备考过程中，理解和掌握这些定理是非常重要的。通过不断的练习和巩固，我们可以更好地应对专升本考试中的高数部分。加油哦！𐟒