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怎么证明三点共线新上映_四点共面x+y+z1证明(2024年12月抢先看)

内容来源：云川SEO所属栏目：导读更新日期：2024-12-01

怎么证明三点共线

门纳劳斯定理是平面几何中的一个重要定理，描述了三角形上六个点的位置关系。以下是详细解释： 1. 定理内容：如果一条直线与三角形ABC的三边或其延长线相交于D、E、F三点，则： AD/DB 㗠BE/EC 㗠CF/FA = 1 （注：这里的比值要考虑有向线段） 2. 定理的逆定理：如果三点D、E、F分别在三角形ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上，且满足： AD/DB 㗠BE/EC 㗠CF/FA = 1 则D、E、F三点共线。 3. 基本特点： - 是共线性的重要判定定理 - 涉及三角形边上点的位置关系 - 包含有向线段比的概念 4. 判别方法： - 如果点在边上，比值为正 - 如果点在延长线上，比值为负 - 三个比值的乘积恒等于1 5. 应用场景： - 证明点的共线性 - 求解线段比 - 确定点的位置 - 解决几何综合题 6. 重要推论： - 可用于证明中位线定理 - 可用于证明重心性质 - 与塞瓦定理互为对偶

𐟓š高二数学选择性必修一精华笔记𐟓 𐟔 探索高二数学选择性必修一的奥秘，这里为你总结了核心知识点！ 1️⃣ 𐟓Œ空间向量： - 证明向量共线的方法，如三点共线定理和供线向量定理。 - 证明平面存在的方法，如共面向量定理和回点面定理。 2️⃣ 𐟓数量积与投影： - 掌握数量积的性质，如投影公式和极化恒等式。 - 利用数量积求解空间两点距离公式。 3️⃣ 𐟧�駔觩𚩗𔥐‘量证明关系： - 学会利用空间向量证明垂直关系和平行关系。 - 掌握空间余弦定理和点到面的距离计算方法。 4️⃣ 𐟓š其他重要知识点： - 了解平面法向量的求解方法。 - 熟悉利用法向量求线面角和二面角。 𐟒ᨿ™些知识点是高二数学选择性必修一的核心内容，掌握它们将助你更好地应对数学挑战！加油哦！𐟒ꀀ

我小时候在一本叫做《数学万花筒》(中国少年儿童出版社一九七九年七月出版)的书中看到一道有趣的平面几何中的证明题目,一直不知道怎样证明。二〇二四年十月三日上午请教了Kimi智能助手,很快得到了证明,Kimi智能助手真棒!(需要强调的是,Kimi智能助手至今不会识别图片和视频,请教问题时一定不能涉及任何图片或视频,以免无法回答,或者无法准确地回答)下面我把我和Kimi智能助手就这道平面几何证明题目的聊天记录稍加整理后,分享在下面: 我提问: 请教一道应该属于平面几何领域的证明题,这道题目是我小时候从一本叫做《数学万花筒》的书𐟓–上看到的,从来没有看到解答。题目的大意是(我只记得大意):已知平面上有五个点,任意两点不重合,任意三点不共线,任意四点不共圆,求证存在这样的圆(只要求证明存在性),使得三个点在圆周上,一个点在圆内,一个点在圆外。不论Kimi是否会证明,都请回复,多谢! Kimi智能助手回答: 这个问题是平面几何中一个有趣的问题,我们可以通过一些几何原理来尝试证明它。首先,我们有五个点,记为A,B,C,D,E。根据题目条件,任意两点不重合,任意三点不共线,任意四点不共圆。我们的目标是证明存在一个圆,使得三个点在圆周上,一个点在圆内,一个点在圆外。证明思路: 1.选择任意三点确定一个圆:首先,我们可以选择任意三个不共线的点,比如 A, B, C,这三个点可以确定一个唯一的圆。根据圆的定义,这个圆上的所有点到这三个点的距离都是相等的。 2. 考虑第四个点的位置:现在我们考虑第四个点D。由于任意四点不共圆,所以D不在由A,B,C确定的圆上。这意味着D要么在圆内,要么在圆外。 3.考虑第五个点的位置:最后,我们考虑第五个点E。由于E也不能与A,B,C,D共圆,所以 E必须在A,B,C确定的圆的另一侧,即如果D在圆内,那么E就在圆外,反之亦然。证明过程： 1. 选择三个不共线的点A,B,C,确定一个圆⊙(ABC)。 2.由于D不与A,B,C共圆,D必须在⊙(ABC)内或外。 3.由于E也不与A,B,C,D 共圆,E 必须在⊙(ABC) 的另一侧,即如果D在圆内,E就在圆外,如果D在圆外,E就在圆内。 4.因此,我们总能找到这样的圆⊙(ABC),使得A,B,C在圆周上,D在圆内,E 在圆外,或者A,B,C在圆周上,D在圆外,E在圆内。这个证明依赖于点的非共线性和非共圆性,通过选择不同的三点组合,我们可以构造出满足条件的圆。这个问题的关键在于理解任意四点不共圆的条件,这保证了我们总能找到至少一个点在圆内或圆外。@Kimi智能助手

手拉手模型全解析𐟤 𐟎‰𐟎‰𐟎‰手拉手模型识别秘籍：双等腰，共顶点𐟑€𐟑€ 𐟓–1. 手拉手模型背景与结论背景条件：两个共顶点、等顶角的等腰三角形组成。如图：已知CA=CB, CE=CD, ∠ACB=∠ECD. 左右手判断：共用顶点为头，按照顺时针（或逆时针）分别命名左右手。右手头头左手右手结论：左拉左，右拉右，围成的两个三角形全等。右手左手头左手右手 𐟓š2. 常见手拉手模型等边三角形手拉手模型等腰直角三角形手拉手模型一般等腰三角形手拉手模型 𐟔3. 解题方法手拉手模型：SAS型全等→核心在于倒角。 𐟓š4. 等边三角形手拉手模型证明如图AABC与ACDE为等边三角形，B、C、D三点共线,连结AE与CD，证明： ABCE≌AACD BE=AD ∠PAB=60ⰊABMC≌AANC AEMC≌ADNC CP平分MPN AMNC为等边三角形 MNI BD BP=PA+PC PD=PC+PE P为ACE的费马点 B c D 证明：BC=AC, BCE=2ACD, CE=CD ABCEAACD B c D BE=AD, CBE=2CAD R D 利用8字倒角，可得APB=60 M B c D AN=BCM=60Ⱜ CBE=CD, CA=CB .ABMCAANC B c D ABMC≌ANC, ABCEAACD .AEMCADNC A B c D 过点C作CHIBE, GLAD .BE-CH, SAD= 1 .Se=SA, e= AD.CG 2 2 .CH=CG AEMCADNC .CM=CN . MCN=60ⰠAMNC为等边三角形 M 60 B c D AMNC为等边三角形 CMN=60ⰠBCA=60 MNI BD H B c D 在PB上截取PH=PA,连接AH ZHAP=60Ⱜ AH=AP ZBAC=60 LBAH=CAP AB=AC, BAH=LCAP, AH=AP ..AABH≌AACP .BH=CP ..BP=PA+PC B c D (10）按照结论（9）的证明思路，同理可证PD=PC+PE A M B c D (11）AACE的费马点是使PA+PC+PE最小时，P点的位置。由结论（9)可知，PA+PC+PE=BH+HP+PE, 而B、H、P、E正好四点共线,可知PA+PC+PE取到最小值 .P为AACE的费马点 𐟓š5. 等边三角形手拉手模型2证明如图，两个等边三角形AABD与ABCE，连结AE与CD，证明： AABEADBC AE=CD 直线AE与CD的夹角证明: BA=B, B=DB, B= AABEADBC D E R (2)AE=CD, BAE=2BDC D >H 6Q A B (3）延长AE、CD,交于点H 利用8字倒角,可得AHD=60Ⱐ直线AE与CD的夹角为60Ⰰ

高中数学立体几何线面平行证明技巧 𐟓š 编、南益、数列、立体几何专题 𐟔 求证：E,F,R,G,H四点共面; 因为E,F分别为A的中点，所以EF/BD。在△B中，因为EH/BD，所以GH/BD。因此，E,F,G,H四点共面。 𐟔 证明：B,A,C三点共线。因为平面ABC与平面ADC的交线为AC，所以BGFH=P。由于PE平面ABC，PE平面ADC，所以P为平面ABC与平面ADC的公共点。又因为平面ABC与平面ADC的交线为AC，所以P,A,C三点共线。 𐟓š 三角形中位线证线线平行（长线切短面、短线切长面） 𐟔 例1：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点，求证：PC平面BDE; 连接AC，交BD于O，连接OE。因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC。因为E为侧棱PA的中点，所以OE/PC。因为PC平面BDE，OEC平面BDE，所以PC/平面BDE。 𐟓š 向量、数列、立体几何专题 𐟔 证明：EO平面PBC; 延长PO至点M，使FO=OM，连接MD。因为ABCD的中心为O，PO平面ABCD，PO BD。因为BO=OD，FOB=2DOM，AFOB 丝ADOM。因为PF=PE，FBO=MDO，B DM，EFI DM。而PF=2FO=FM，PE=ED，EO/PB。所以PBC平面PBC，EO平面PBC，EO/平面PBC。 𐟓š 四面体中的线面平行证明 𐟔 例4：在四面体A-BCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=30C求证：PO/平面BCD; 取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3FC，连接OP、OF、FO。因为AD=30C，所以OP=DM。因为OFC平行于AD，所以OP平行于DF。因此，PO/平面BCD。 𐟓š 立体几何中的线面平行证明技巧 𐟔 证明：APIGH; 连接BD，取DM的中点G。因为四边形ABCD是平行四边形，所以M是PC的中点。因为M是PC的中点，所以MOIPA。因为平面BDM与平面PAD相交于PA，所以PA/平面BDM。又因为PAHG与平面BDM相交于GH，所以APIGH。 𐟓š 四棱锥中的线面平行证明 𐟔 证明：GHIEF; 因为BC/平面GEFH，BCC平面BC，且平面PBC与平面GEFH相交于GH。所以GH/BC。同理可证EF/BC，因此GH/EF。 𐟓š 等腰三角形与菱形中的线面平行证明 𐟔 证明：1AD; 底面ABCD是菱形，所以BCIIAD。因为AD平面PBC，BCC平面PBC，AD/平面PBC。又因为ADC与平面PAD相交于1，所以1AD。

高中立体几何知识点全面解析 𐟔 立体几何是高中数学中的重要部分，掌握好这部分知识可以为你的数学成绩打下坚实基础。下面是对立体几何知识点的全面归纳和解析，帮助你更好地理解和掌握。平面与直线 𐟓 平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。证明点共线：将问题转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后利用公理2证明这些点都在公共直线上。证明共点：先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。证共面：先根据部分条件确定一个平面，再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合。空间直线的位置关系 𐟌 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面。相交直线：共面有且仅有一个公共点。平行直线：共面没有公共点。异面直线：不同在任一平面内，无公共点。平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并直方向相同，那么这两个角相等。两异面直线的距离：公垂线段的长度。空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直。直线与平面的关系 𐟓 直线与平面平行、直线与平面垂直。空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内。直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。直线与平面垂直是指直线与平面任何一条真线垂直，过一点有且只有一条真线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条真线垂直。若PAl，alAO，得alPO（三垂线定理），三垂线定理的逆定理亦成立。平面与平面的关系 𐟓˜ 空间两个平面的位置关系：相交、平行。平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行。两个平面垂直判定一：两个平面垂直判定二：如果一条直线与一个平面垂直，那么这个平面内的任意一条直线也垂直于这个平面。两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面。总结 𐟓 立体几何知识点繁多且复杂，但通过系统的归纳和练习，你可以逐渐掌握这些知识点。希望这份总结能帮助你在高中数学中取得更好的成绩！

25届高三11月稽阳联考数学答案详解 𐟓š 稽阳联考是绍兴市教育科学研究所主办的一项重要考试，旨在促进区域内学校的交流与学习。参与的学校包括新昌中学、嵊州中学、柯桥中学、诸暨中学、春晖中学、浦江中学、萧山中学和磐安中学。 𐟓 数学试卷分为填空题和解答题两部分，涵盖了多个知识点。以下是部分题目的答案及解析： 1️⃣ 填空题： 12️⃣ 已知i为虚数单位，若2z+z-z=9+4i，则z=？ 13️⃣ 已知等比数列的某项和为S，若S,=(3+1)S，则a=？ 14️⃣ 已知函数f(x)=eⲭsin2x+1，若对任意x∈(0,+∞)，f(ahnx)+f(-x)<2，则实数a的取值范围为？ 2️⃣ 解答题： 15️⃣ 如图，四边形ABCD为圆台的轴截面，AB=2CD，圆台的母线与底面所成的角为60Ⱟ𜌦𚿩•🤸𚲯𜌐是弧AB上的点，CP=6，E为AP的中点。求平面ACP与平面BCP夹角的余弦值。证明：DE平行于平面BCP。 16️⃣ 如图，AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，直线l与AABC的边AB,AC分别相交于点D,E，设LADE=8，满足acos(B-B)+bcos(A+B)=？求角的大小。若AE=13,ADE的面积为33，求AADE的周长。 17️⃣ 已知函数f(x)=xln(x+a)。当a=0时，求曲线y=f(x)在点（e,f(e)处的切线方程。若f(x)有两个极值点，求a的取值范围。 18️⃣ 已知椭圆C：[xⲯaⲝ+[yⲯbⲝ=1的左右顶点分别为A,B，左右焦点分别为F,F2，O为坐标原点，E为椭圆在第一象限上的一点，直线EA,EB分别交轴于点P,Q。求P的值。在直线F2上取一点D（异于F2），使得D=1。证明：P,D,F1三点共线。求APDF2与APF2面积之比的取值范围。 19️⃣ 每个正整数k有唯一的“阶乘表示”为(,qa…a.),这些a,满足k=1a+2a+…+m am，其中每个a(i=1,2,3…m,meN')都是整数，且0≤a≤ia>0。求正整数3,4,5,6的“阶乘表示”。若正整数k对应的“阶乘表示”为(a,a,…ac)，正整数k'对应的“阶乘表示”为(ad…a)，其中m>s，求证：k>k'。对正整数k，记b,=[k]，[x]表示不超过x的最大整数，数列Ln!的前n项和为S，若k-S=2024，当k最小时，求a的值。

安徽省“江南十校”联考真题及答案解析 𐟓… 高三10月联考真题来啦！安徽省“江南十校”的高质量试题，快来看看吧！ 𐟓 填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 抛物线y=2xⲤ𘊧š„一点M到焦点的距离为1，求点M的纵坐标。 13. 已知样本x1, x2, ..., xn的平均数为3，方差为4，样本y1, y2, ..., yn的平均数为8，方差为2，求新样本z1, z2, ..., zg的方差。 14. 在三角形ABC中，ABⷃB - ACⷂC = -BC，求tan(B-C)的最大值。 𐟓 解答题（共5小题，共77分） 15. （本小题满分13分）一个质点在随机外力作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位。求质点移动5次后移动到1的位置的概率；设移动5次中向右移动的次数为X，求X的分布列和期望。 16. （本小题满分15分）在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB=AD=4，等腰直角三角形ADE中，AE=DE，且平面ADE与平面ABC垂直，平面ABE与平面CDE交于EF。求证：CD⊥EF；若CD=EF，求角A-BC-F的余弦值。 17. （本小题满分15分）已知a>0，函数f(x)=xe-ax。证明f(x)存在唯一的极值点；若存在a，使得f(x)≥b-2a对任意x∈R成立，求实数b的取值范围。 18. （本小题满分17分）已知圆M：(x+1)ⲫyⲽ16，动圆D过定点N(10)且与圆M内切，圆心D的轨迹为曲线C。求曲线C的方程；曲线C上三个不同的动点P，E，F满足PE与PF的倾斜角互补，且P不与曲线C的顶点重合，记P关于x轴的对称点为P'，线段EF的中点为H，O为坐标原点，证明：P'，H，O三点共线。 19. （本小题满分17分）设集合M={a|a=xⲭy, x∈Z, y∈Z}。对于数列a，如果a,∈M且a,≠0 (i=1,2,...,n)，则称a为“平方差数列”。已知在数列a中，a=3, a₁=1。求数列的通项公式，并证明数列a是“平方差数列”；已知b,=2”，判断b是否为“平方差数列”，说明理由；已知数列c,为“平方差数列”，求证：c,∈M (i=1,2,...,n)。

𐟓š泉州五中初二数学半期考试卷𐟓– 𐟓… 2024年11月，泉州五中初二数学半期考试卷新鲜出炉！快来看看这些题目吧！ 𐟔 二、填空题（每小题4分，共24分） 1️⃣ 命题“等角的余角相等”是（真/假）命题。 2️⃣ 4025 㗠0.252024 = ? 3️⃣ 若 (x-2)(x-3) = x + ax + 6，则 a 的值为多少？ 4️⃣ 等腰三角形一边长为2，另一边长为4，周长为多少？ 5️⃣ 若 xⲠ+ x - 2 = 0，则 (x + 1)(x - 1) + x 的值是？ 6️⃣ 如图，AE是CAM的角平分线，点B在射线AM上。DE是线段BC的中垂线交AE于E，EF⊥AM。若 LACB = 26Ⱟ𜌃BE = 24Ⱟ𜌥ˆ™ AED = ? 𐟓š 三、解答题（共86分） 7️⃣ 计算：3 - 27 + 16 + (-1)。 8️⃣ 因式分解：(1) 𒠭 462；(2) 2xⲠ- 10x = 28。 9️⃣ 先化简，再求值：[2x -] + [2x -] (y + 2x) + 2x，其中 x = 1，y = 2。 𐟔Ÿ 如图，E、A、C三点共线，AB // CD，LB = LE，AC = CD，求证：BC = ED。 1️⃣1️⃣ 我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零。由此可得：如果 x + b = 0，其中 a、b 为有理数，x 为无理数，那么 a = 0，且 b = 0。运用上述知识解决下列问题：若 vⲡ - b = 3，其中 a、b 为有理数，那么 a = 0，且 b = -3。 (1) 如果 2(a - 2) + b = 4，其中 a、b 为有理数，那么 a = ?，b = ?。 (2) 如果 (1 + 7)a - 7b = 5，其中 a、b 为有理数，求 ab 的算术平方根。 1️⃣2️⃣ （14分）如图1，在四边形ABCD中，AB = AD，ZB + ZD = 180Ⱟ𜌅、F分别是BC、CD上的点。探索：LBAD 与 ZBCD 的数量关系。若 LEAF = ZBAD，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系并证明。应用：如图2，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（0处）北偏西30Ⱗš„A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70Ⱗš„B处，且两舰艇到指挥中心的距离相等。接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50Ⱗš„方向以70海里/小时的速度前进。1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角（EOF）为70Ⱟ𜌨𑂦�—𖤸䨈𐨉‡之间的距离。变通：如图3，在四边形ABCD中，LABC + LADC = 180Ⱟ𜌁B = AD。若点F在CB的延长线上，点E在CD的延长线上，若 EF = BF + DE，请直接写出 EAF 与 ZDAB 的数量关系。

𐟓š 四点共圆的证明方法与判定技巧 𐟓 𐟔 四点共圆的基本性质四点共圆时，圆内接四边形的对角互补，即角度和为180度。如果四个点到某个点的距离相等，那么这四个点共圆。如果一个四边形的外角等于其内对角，那么这四个点共圆。 𐟓Œ 判定方法如果一个四边形的一组对角互补，那么这四个点共圆。如果两个点在一条线段同旁，并且这条线段两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆。如果同斜边的两个三角形顶点共线，那么这三个点共圆。 𐟓– 示例与证明在等边三角形ABC中，AB=6，P为AB上一动点，PDIBC于D，PEIAC于E，求DE的最小值。思路：要求DE的最小值，可以利用垂径定理，找到与半径的关系。连接PD和PE，取中点M，连接DM和EM。当P点最小时，DE也最小。利用三角函数和等边三角形的性质，可以求出DE的最小值。 𐟔砨˜Ž技巧利用同弧所对的圆周角相等原理，证明四点共圆。利用四边形对角互补的性质，证明四点共圆。利用外角等于内对角的性质，证明四点共圆。 𐟓š 通过这些性质和判定方法，我们可以轻松证明四点共圆的问题。希望这些技巧能帮助你更好地理解几何问题！