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两个向量相乘权威发布_两个向量相乘等于0说明什么(2024年12月精准访谈)

内容来源：云川SEO所属栏目：观点更新日期：2024-11-29

两个向量相乘

阿尔伯塔大学理工科基础课程全解析嘿，大家好！对于那些正在阿尔伯塔大学读书或者即将来读书的小伙伴们，尤其是从不同高中背景来的你们，可能对大学的课程还一头雾水吧？别担心，今天我就来给大家简单介绍一下阿尔伯塔大学理工科的基础课程，希望能帮你们有个大概的了解，对你们的学习有所帮助。 Math134：导数与微积分这门课主要讲导数、数列极限、求导和微积分。常见的题型有求复合函数导数、链式法则和求极限等。它是science专业的必修课，基础数学的一部分。平时作业和eclass小quiz比较多，每周都有两个，再加上期中和期末考试，难度算是中上水平。整个班级的平均GPA大概在1.7左右。 Math125：线性代数这门课是大部分专业课的必修课，主要讲线性代数。内容涉及向量矩阵的运算、矩阵相加相乘、独立矩阵的判定、反矩阵和虚数等。作业两周一次，加上期中和期末考试，课程内容繁多，难度也不小。 Math241：几何与证明这门课以前一直被当成水课，但现在改成全线下模式了。内容涉及高中几何、三线合一、Ceva和Menius证明定理，难度中等。 Stat151：统计学这门课对大一学生来说非常困难，是统计一生的噩梦。有四个lab、一个期中和一个期末考试，期末考试难度较大，班级平均分只有1.6，是最容易挂科的一门课。内容涉及排列组合、概率问题、chisquare、z test和t-test的不同体型、正态分布等。其中critical value和probability的相互转换以及读题区分哪个公式最难。 Biol107：细胞生物学这门课的班级平均分是2.7，老外比较擅长但国人不怎么擅长。内容讲细胞生理、结构、基本组成物质、蛋白质、脂质、糖、DNA以及遗传问题、光和呼吸作用等，难度中上。 Chem101/103：基础化学这两门课的平均分是2.6，涉及量子力学概念、光学计算、Lewis structure、MO theory、气体和分子间作用力等。 Chem102/105：基础化学2 这两门课更偏向于计算equilibrium、酸碱中和和溶解度。总的来说，这些课程虽然基础但又有一定的难度，是学校非常看重学生成绩的课程。如果你对这些课程有任何具体问题，欢迎找我咨询哦！

第十五周高数：学矩阵𐟓š 第十五周的学习内容主要围绕矩阵展开，以下是详细的学习章节和内容： 𐟓Œ学习章节：矩阵 𐟓Œ学习内容：矩阵的概念与运算 𐟓归纳总结：矩阵的定义：矩阵是由m行和n列的数按照一定规则排列成的矩形数组。特殊矩阵：行矩阵：只有一行的矩阵列矩阵：只有一列的矩阵零矩阵：所有元素都是0的矩阵单位矩阵：对角线上的元素都是1，其他元素都是0的方阵对角矩阵：非对角线元素都是0的矩阵转置矩阵：矩阵A的转置A^T是将A的行变为列，列变为行的矩阵 𐟓矩阵运算：加法：两个同型矩阵相加，即对应位置的元素相加数乘：矩阵的每个元素与一个数相乘乘法：前提——前一个矩阵的列数和后一个矩阵的行数要相等逆矩阵：A、B互逆，则AB=BA=E 𐟓ˆ矩阵的性质：线性组合：矩阵可以表示为多个向量的线性组合行列式：方阵的行列式是其所有特征值的乘积通过这一周的学习，大家对矩阵的概念和运算有了更深入的理解，为后续的学习打下了坚实的基础。

大模型必备的线性代数知识在处理大规模数据和参数时，线性代数知识显得尤为重要。以下是一些与大模型相关的线性代数概念，它们在优化模型运算过程中发挥着关键作用。矩阵乘法 𐟓 大模型通常利用矩阵乘法来建立输入数据和模型参数之间的映射关系。矩阵乘法可以看作是两个矩阵相乘的操作，其中一个矩阵代表输入数据，另一个矩阵代表模型参数。向量和矩阵的加法和减法 𐟓ˆ𐟓‰ 在大模型中，向量和矩阵的加法和减法运算被广泛用于参数更新和梯度计算。这些操作帮助模型不断调整参数，以优化预测性能。矩阵的求逆 𐟔„ 在某些大模型中，计算矩阵的逆矩阵是必要的，例如在解决线性方程组或计算特征值时。矩阵的逆矩阵可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和结构。特征值和特征向量 𐟌€ 大模型中的矩阵通常具有特征值和特征向量这两个重要的属性。特征值描述了矩阵的缩放特性，而特征向量则描述了矩阵的变换方向。这些属性对于理解矩阵的行为和优化模型至关重要。奇异值分解（SVD） 𐟔犥凥𜂥€𜥈†解是一种常用的矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。这种方法不仅有助于理解矩阵的结构，还能在降维和图像处理等任务中发挥重要作用。矩阵的迹和行列式 𐟓 迹描述了一个方阵沿对角线元素的总和，而行列式则描述了一个方阵的缩放特性。这些概念在理解矩阵的性质和优化模型的运算过程中非常有用。掌握这些线性代数知识可以帮助你更好地理解和优化大模型的运算过程，从而提高模型的预测性能。

数学之美：矩阵的奇妙世界数学家牛顿曾经说过：“如果你对女人还有兴趣，说明你对数学之美一无所知。”虽然我最近在博士学习中没有放弃对女人的兴趣，但我越来越觉得数学的美是一种更高级的美。最近我一直和矩阵打交道，这里就简单分享一下矩阵的美丽之处。以下内容只会出现一条公式，请放心阅读。首先，根据矩阵的特征值公式Ax = （没错，这就是唯一的公式），A是矩阵，x是向量，也叫做矩阵A的特征向量，𜈥𘌨…Š字母lambda）叫做A矩阵的特征值。这个表达式的含义是，一个向量乘以某一个特定的系数，等于一个向量乘以一个矩阵。这句话真的太不可思议了，要知道矩阵可是一个方阵，在点乘运算中居然等价于和一个平平无奇的数字相乘，而这背后的原理正是矩阵的魅力所在。说回上面的公式，等式右边是一个向量乘以一个系数，这可以简单理解成把一个向量扩大相应的倍数。比如一个向量是（2，1），在坐标系上画出来就是一个箭头从原点指向（2，1）这个点。当这个向量乘以3，也就是扩大三倍后，在坐标系上就变成了一个箭头指向了（6，3）。这时候再看等式左边，矩阵和向量相乘后居然也是扩大三倍的效果！多么不可思议！以上说明了矩阵乘法的本质其实就是线性变换，通过和矩阵相乘来达到让向量伸缩或者旋转的目的（旋转的例子篇幅有限这里先不介绍，总之肯定是有就对了）。曾经的数学家们偶然间发现了Ax = 这个现象，再经过不断探索，发现了矩阵不止有一个特征值，即通常对于一个n x n的矩阵，本身会有n个不同的特征值，也就有n个对应的特征向量x，用以满足上述公式。于是，最终将矩阵写成特征向量集合乘以对角矩阵，即特征值分布在对角线上的矩阵的形式（如图2），就是矩阵的分解。通过上述分解，如同把矩阵解剖了一样，直达矩阵性质的本质。比如把原始矩阵（如图3左）分解后，不保留全部只保留部分值较大的特征值，再重新把分解的部分相乘，就像拆开机器换个零件再组合成原样，我们发现得到后的矩阵（如图3右）虽然不如原始矩阵清晰，但大部分特征都有所保留。由于篇幅有限，且为了增加易读性，本文牺牲了很多数学上的严谨性，只为大家能感受到数学的美。这种美悠远而绵长，历久而弥新，令人欲罢不能，回味无穷。

广州十六中高二数学题：一道题能学到啥？嘿，大家好！今天咱们来聊聊广州十六中高二的那道数学题，真的是挺有意思的。第一问其实是在求圆的半径和圆心，题目已经告诉了你圆心的位置，所以接下来就是设未知数和建立等式了。这里有个小技巧，尽量少设未知数，比如点虽然有两个未知量，但在直线上的点可以通过直线方程消掉一个。这样一来，一个未知数只需要一条等式就能搞定。利用垂径定理和勾股定理，你可以把圆心表示出来，再结合题目条件说圆与y轴相切，就能轻松表示出半径。圆心到直线的距离是一条直角边，再加上弦长的一半就是另一条直角边，这样半径就出来了。第二问则是利用数学规律来解决问题。题目给了等腰三角形的条件，那么利用等腰三角形的特性与垂径定理结合起来，就能找到里面的数学规律。简单来说，就是该点和半径形成的直线与题目给的含有一个未知量的直线垂直。这样就能利用斜率相乘为-1来列方程等式。因为其中一个斜率不为0，所以另一个斜率也不为0且存在。列出斜率后建立相乘等于-1的等式就能求解。不过，这里有个小坑，就是虽然我们利用垂直找到了直线与圆的交点，但并不能保证这条直线一定会与圆有两个交点。所以还需要验证一下与圆是否有两个交点。这时可以利用圆心到直线距离和半径进行比较。学一道题还是一类题？答案很明显，谁都想要举一反三，必然想学一类题。因为如果按题目种数来算，高中每个章节大概有几十种常规题。所以要吃透常规题，就要吃透几百种题，还不包括新题和新定义的创新题。但只要把这些题进行类比总结后，你会发现其实只有十几类题，比如求值、求取值范围、求最值、求定值、证存在性、证充要性、探索存在性、验证结果等等。一题多解并不是最终目标，真正做到多题一解才是最宝贵的财富。比如拿最基本的求值问题来教学，求“谁”就是设“谁”然后建立“谁”的方程等式。这个好像是小学就开始教的基本方程思维。于是这类题的根本是如何建立方程等式。初中我们常见的勾股定理、等面积相似比、判别式等等，高中正余弦定理、向量等式、等体积斜率相等函数代入等等，这些都是我们常规建立等式的依据和方式。所以学习总结的是这些而不是什么化一法啥啥法。而在这个过程中，必须清楚意识到等式最大的作用就是消元。希望这篇文章能帮到大家更好地理解那道数学题！𐟓š

24数一真题：难度爆表，挑战极限！这张真题卷真是让人头疼，感觉是从2009年到现在最难的一张。大题的计算量简直让人抓狂，选择题里也有不少计算量不输大题的情况。级数求导与极限计算 𐟧﹧𚧦•𐦱‚导后，把-1和1带入，两式相减时要注意，这样求出的是4n*a2n的值。概率与统计 𐟎쬱0题是最难算的选择题之一，计算量和往年概率大题相当，简直让人怀疑人生。三角函数与反三角函数 𐟌 第14题，我令1/（x+y）为z，算出来形式不同，但arctanx+arctan1/x=2，化简后结果是一样的。线性代数与矩阵变换 𐟧™‍♂️ 第15题，线代部分真是让人头疼。对A矩阵做变换为对角矩阵，最终式子是柯西不等式的形式。a≥0时显然成立，但当a小于零时，代两个一正一负的值进去发现是不成立的。最值问题 𐟏† 第18题，真的难算的最值问题，一共有三个边界要处理，真是让人头大。其他题目 𐟓š 第19题之前做过了，但考场上要能注意到x和1-x的系数关系有点困难。第20题，取平面为曲面然后斯托克斯。第21题，算了三遍出了三个结果都不一样，因为把特征向量求错了导致矩阵的逆计算困难，三个矩阵相乘也很难算，这题写了接近40分钟，结果还错了。其他题目 𐟓š 第22题，计算量还没有选择第十题大，如果考场上这题没写血亏。总之，这张真题卷真是让我见识到了数学的魅力（或者说恐怖）。希望下次能更顺利地应对这种挑战！

𐟤” QKV的Transformer之旅 𐟤” 你是否对Transformer中的QKV感到困惑？别担心，让我们来一起探索它们的奥秘！ 𐟔 首先，什么是Transformer呢？它是AI技术的基石，特别是在语言模型中，如ChatGPT。而QKV，就是Transformer中Attention机制的重要组件。 𐟤蠩‚㤹ˆ，Q、K、V究竟是什么呢？ * Q（Query）：可以理解为“询问者”，每个输入的词都会变成一个“询问者”，想要知道与它相关的词有哪些。 * K（Key）：代表“线索”，每个词也会变成一个“线索”，帮助“询问者”找到相关联的词。 * V（Value）：意味着“信息值”，当找到相关词后，我们需要知道这些词的具体信息。 𐟌𐠤𘾤𘪤𞋥퐯𜌥悦žœ我们有一句话：“我有一个玩具”，想要预测下一个词是“具”。在这个过程中： 1️⃣ “我”是Q，想知道与它相关的词。 2️⃣ 其他词如“有”、“一个”、“玩”会变成K和V，提供线索和信息。 𐟒᠔ransformer是如何运作的呢？ 1️⃣ 首先，计算每个词与“我”的关系强弱。 2️⃣ 然后，对这些关系进行归一化处理，使得每个词对“我”的重要性之和为1。 3️⃣ 最后，用这些关系和V相乘，得到一个新的表示“我”的向量，这个向量融合了所有相关词的信息。 𐟤“ Multi-Head Attention是什么呢？为了让模型更强大，Transformer会计算多次Attention，每次关注不同的关系，从而捕捉到更多方面的信息。 𐟌Ÿ Transformer的两大优势是：丰富的上下文信息和强大的并行计算能力，这使得它在处理大量信息时非常高效！希望这次解释能帮助你更好地理解Transformer中的QKV！𐟎‰

数一145+复习心得：线代部分复盘 𐟔姺🤻㧉𙥾值和特征向量部分为什么存在n个不同特征值就能相似对角化？为什么存在n个不相关的特征向量就能相似对角化？（这个可以当做结论）含有重根特征值时，为什么k和解系的数目相同可以对角化？实对称矩阵为什么一定可以相似对角化，而且实对称矩阵的特征向量之间还是相互正交的关系？矩阵不可相似对角化时，矩阵的秩和特征值之间的关系？（例如：如果特征值存在0？）为什么相似前后特征值不改变？为什么特征值的和为迹？（运用韦达定理） ’Œ𙋩—𔧉𙥾值和特征向量和正交最后的结果之间的关系？他们在0和不为0的时候分别具有怎样的关系呢？ 𐟔姛𘤼𜧟驘𕥉后的特征值和特征向量的关系。什么时候仅仅是特征值有关系而特征向量没有关系？什么时候是特征向量也有关系？什么时候可以根据正交性来求一些未知的特征向量？几类曲面之间的推导和他们的系数的关系。（比如特征值是两个＞0，一个＝0）几个向量相互正交和判断他们的相关性之间存在怎么样的关系？ 𐟔妖𙧨‹组部分横着写和竖着写的矩阵的秩之间有什么关系。和拉普拉斯公式的关系？含参数问题我们的思考，无解，唯一解，无穷解之间我们该怎么样保证不会拉下一种情况？把方程部分问题和高数的向量和空间部分联立起来。存在公共解的几种情况是怎么样的？各自怎么分析？线性相关和线性无关的几种常用方法。 𐟔姟驘𕊧Ÿ驘𕨡Œ列向量和最终相乘后的关系是怎样的（存在可逆或者不存在可逆时候行列之间的相互表出关系）在含有增广矩阵的时候这种关系又会发生怎么样的变化？试根据方程的角度谈一谈。在求递推关系的时候有哪些题型和易错点？根据你做过的题谈一谈。（递推关系是强化阶段的重点，基础阶段不用太深入。）正交矩阵和伴随矩阵之间能有怎么样的命题角度？（aij ＝ Aij） 𐟔夸Š课的讲义中的二级结论有哪些重要的，经常用的，你还能记起来吗？谈谈什么时候可以用？

𐟓˜立体几何解题秘籍大公开！ 𐟎“ 立体几何，作为数学的一大难题，其实有着明确的解题思路和方法。今天，我们就来一起揭秘立体几何的解题秘籍！ 𐟓Œ 第一招：总结归纳法通过总结归纳，我们可以找出题目中的规律和解题思路。例如，在解决三视图问题时，我们可以总结出“定型式”和“排点法”等解题技巧。 𐟓Œ 第二招：线面平行证明法对于线面平行的证明，我们可以采用“一箭双雕”法和“平行四边形法”。通过这些方法，我们可以轻松证明线面平行的关系。 𐟓Œ 第三招：外接球问题解决法对于外接球问题，我们需要掌握一些经典模型，如正棱锥外接球模型、两面垂直型外接球模型等。通过这些模型，我们可以快速解决外接球问题。 𐟓Œ 第四招：坐标法巧算平面的法向量在解决平面法向量的问题时，我们可以采用坐标法。通过掐头去尾写两遍，对角相乘后减前的方法，我们可以轻松计算出平面的法向量。 𐟓Œ 第五招：二面角射影面积法对于二面角的射影面积问题，我们可以采用“射影面积法”。通过计算原平面与摄影平面的夹角余弦值，我们可以得出二面角的余弦值。 𐟎‰ 通过掌握这些解题秘籍，我们可以更加高效地解决立体几何问题。快来试试吧！

数学复盘：难点痛点解析这张试卷真是让人又爱又恨，选填题让我意识到自己还有很多概念没吃透，模糊点太多了！大题里线代部分也有不少难题。无穷小运算：低阶吸收高阶，相乘就阶数相加这道题真是让我头疼，无穷小的运算是基础中的基础，但总是容易出错。标准正态分布函数：增函数和偶函数标准正态分布函数是增函数，概率密度函数是偶函数，这些基本概念一定要牢记。概率论里的分布问题这道题我掉了一种情况，只看正数是不够的，要把两个分布的取值都看完。行列式、代数余子式、伴随矩阵选填里的难题，核心还是对这些概念理解不深刻。通过已知找转置和伴随的关系，以及它们的行列式和A的行列式的关系，最后看清所有条件，“非0矩阵”！概率论里的重要不定积分计算一开始走了歪路，概率论里的几个重要不定积分的运用还不熟练。经济意义表述边际利润就是当p为某个值时，再增加一单位的生产所带来的利润增加量。经济意义表述还是有问题。介值定理和零点定理第一问存疑，零点定理这里究竟是否可用？但是介值定理是必须掌握的，证明题严谨一环扣一环，由题目条件可导首先必须写出“fx连续”，中值定理里几个开闭区间还是没完全熟练，介值定理是闭，零点定理是开。线性方程组得到四个方程联立的方程组后直接去想当然观察得ab了，应该继续写增广矩阵做行变换看的！抽象矩阵求特征值这题主要矛盾就是永乐讲的那几个很重要的符号没理解深刻，第二问“正交”“单位向量”没意识到对应着符号的表示，难点还在1⃣️抽象矩阵求特征值从定义出发❗️2⃣️求0特征值的时候又牵扯到一个不熟悉的知识点，aa转置的秩为1，r（A+B）小于等于r（A）+r（B），这些都是不熟悉的点。面积比问题真的服！事不过三！强化也错过，痛点！怎么直接就拿面积比！？这不是均匀分布啊！最大似然函数求导计算最大似然函数求导计算容易出错。总结这次考试暴露了很多矛盾，停两天总结一下，对症下药！同志仍需努力！

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