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内接四边形的性质新上映_对角线互相垂直的圆内接四边形的性质(2024年11月抢先看)

内容来源：云川SEO所属栏目：导读更新日期：2024-11-28

内接四边形的性质

𐟓š 初中数学几何：四点共圆的奥秘 𐟔 𐟎››点共圆的性质： 1️⃣ 共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等。 2️⃣ 圆内接四边形的对角互补。 3️⃣ 圆内接四边形的外角等于内对角。 𐟔 探索题目： 1️⃣ (2020:山东东营) 如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a>b），M在BC边上，且BM=b，连接AM,MF，MF交CG于点P，将AABM绕点A旋转至AADN，将AMEF绕点F旋转至ANGF。给出以下五个结论，其中正确的个数是？ 2️⃣ (2023浙江宁波) 如图, Rt△ABC中, AB=AC=12√2, Rt△ADE中, AD=AE=6√2，直线BD与CE交于P，当ZEAD绕点A任意旋转的过程中，P到直线AB距离的最大值是多少？ 3️⃣ (2019浙江嘉兴) 如图, 四边形ABCD中，LABC=BCD=90Ⱜ AB=1，AE平分LBED。求CD的长和四边形ABCD的周长。 4️⃣ (2021上山东) 如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为(3，0)、(0,4)，点C是x轴正半轴上一点，连接BC。过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sinBDC的值是多少？ 5️⃣ (2023下湖北武汉) 如图1，点E为等腰△ABC内一点，AB=AC, LABC=Q，将AE绕着点A逆时针旋转𞗥ˆ𐁄，求证：AABE≌AACD。 𐟓š 深入了解这些性质和题目，可以帮助你更好地掌握几何，为中考数学打下坚实的基础！𐟌Ÿ

𐟓š 四点共圆的证明方法与判定技巧 𐟓 𐟔 四点共圆的基本性质四点共圆时，圆内接四边形的对角互补，即角度和为180度。如果四个点到某个点的距离相等，那么这四个点共圆。如果一个四边形的外角等于其内对角，那么这四个点共圆。 𐟓Œ 判定方法如果一个四边形的一组对角互补，那么这四个点共圆。如果两个点在一条线段同旁，并且这条线段两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆。如果同斜边的两个三角形顶点共线，那么这三个点共圆。 𐟓– 示例与证明在等边三角形ABC中，AB=6，P为AB上一动点，PDIBC于D，PEIAC于E，求DE的最小值。思路：要求DE的最小值，可以利用垂径定理，找到与半径的关系。连接PD和PE，取中点M，连接DM和EM。当P点最小时，DE也最小。利用三角函数和等边三角形的性质，可以求出DE的最小值。 𐟔砨˜Ž技巧利用同弧所对的圆周角相等原理，证明四点共圆。利用四边形对角互补的性质，证明四点共圆。利用外角等于内对角的性质，证明四点共圆。 𐟓š 通过这些性质和判定方法，我们可以轻松证明四点共圆的问题。希望这些技巧能帮助你更好地理解几何问题！

初中数学几何辅助线全攻略，轻松掌握！初中数学几何中，辅助线的添加是解题的关键。以下是各种与圆相关的辅助线类型，帮助你轻松应对各类几何问题。与圆有关的辅助线类型 𐟓 连半径构造圆心角：通过连接半径来构造圆心角，方便计算角度。构造同弧所对的圆周角：利用同弧所对的圆周角相等，简化计算。构造圆的内接四边形：通过内接四边形来证明或计算圆的性质。构造特殊三角形：利用特殊三角形来求解或证明圆的性质。与垂径定理有关的辅助线：利用垂径定理来证明或计算圆的性质。与切线有关的辅助线：通过切线来证明或计算圆的性质。内切圆与外接圆常作的辅助线：利用内切圆和外接圆的性质来解题。辅助圆：构造辅助圆来证明或计算圆的性质。中考切线真题辅助线：针对中考真题的切线辅助线，帮助你掌握解题技巧。数学提分小技巧 𐟓ˆ 课上的听讲理解胜于做好课堂数学笔记：数学是一门靠理解的学科，更侧重于能听得懂以及听的全。记笔记可以选择性纪录，不是一味的全部写，如果对笔记的完整性有要求，可以在课间完成。学会思考，学会提问：例题的作用是促进我们思考和巩固知识点、会一道题可以知其然知其所以然，便于举一反三，对于不同的经典例题一定要吃透。错题定期复习，定期重做：定期复习和重做错题，效果会比想象好很多。通过这些方法和技巧，你可以更好地掌握初中数学几何的辅助线添加方法，提升解题能力。

初中数学暑假学习计划：从基础到拔高 𐟎“ 暑假来临，是提升数学成绩的好时机！以下是一个精心规划的初中数学暑假学习计划，帮助你在玩乐中不断进步。 𐟔 七升八年级暑假课程安排不等式的运算法则 𐟓š 掌握不等式的定义与性质解一元一次不等式（组）不等式（组）有解、无解及整数解问题不等式的应用 𐟓 运用不等式解决实际问题最优解问题三角形的边角关系 𐟓 三边关系内外角度模型三角形三线问题 𐟓 三角形三线的定义与三线相关的角底与长度计算问题全等三角形的性质与判定 𐟔 全等三角形的基本性质全等三角形的4种证明方法常见的全等模型辅助线之裁长补短及中线倍长尺规作图 𐟓 基本图形的尺规作图定图解形的初步解轴对称与等腰三角形 𐟔„ 等腰三角形的性质与判定定理轴对称与等腰三线合一勾股定理及运用 𐟓 勾股定理的证明及运用两种特殊的直角三角形及斜中线问题直角三角形全等判定图形与坐标 𐟓Š 坐标表示点的具体问题理解三大变换：平移、旋转及对称一次函数及图像 𐟓ˆ 一次函数的定义及上、下变化之间的关系函数与不等式（组）结合问题一次函数的实际应用 𐟒𜊤𘀦졥‡𝦕𐥜襮ž际利润、面积问题中的运用一次函数与三角形综合问题 𐟔 八升九年级暑假课程安排二次函数的定义与基础图像 𐟓ˆ 二次函数的定义二次函数的基础图像二次函数的图像与系数的关系 𐟔 二次函数图像的几何变换二次函数的四种解析式及永久解法二次函数的应用 𐟌 二次函数与一元二次方程的关系二次函数的增减性与最值问题三角形面积求法之“竟高法” 𐟓 三角形面积的求法二次函数与利润问题、球类轨迹问题和几何最值问题等含参二次函数最值问题剖析 𐟓Š 含参二次函数的最值问题函数图像平移的深度理解与圆相关的概念 𐟌ˆ 圆的定义及性质点与圆的位置关系外接圆与外心圆的旋转与变形垂径定理及推论的理解 𐟓 垂径定理及其推论的理解垂径定理的实际运用心角与圆周角的概念 𐟌 心角与圆周角的概念及其关系圆心角、圆周角、弧长与弦的关系内接四边形性质 𐟓œ 内接四边形的性质及其证明方法三种常见的正多边形边角关系及尺规作图孤长与曲面展开图 𐟓 孤长与点形面的关系及其应用在曲面展开图中比例的性质 𐟓比例的性质及其应用在几何题目中，例如相似三角形的判定和性质。相似三角形的概念和性质相似三角形的判定和性质在实际生活中的应用。射影定理的应用射影定理在几何题目中的应用，例如在解决三角形相似和面积计算等问题。锐角三角函数的概念锐角三角函数的定义及其应用在几何题目中，例如在解决三角形角度和边长计算等问题。解直角三角形解直角三角形的方法及其在实际生活中的应用，例如在解决工程和物理问题。三种位置关系三种位置关系的定义及其应用在几何题目中，例如在解决线段长度和角度计算等问题。切线长定理和判别方法切线长定理及其判别方法在几何题目中的应用，例如在解决圆和直线的位置关系问题。内切圆与内心问题内切圆的定义及其性质，以及在几何题目中的应用，例如在解决三角形内切圆和内心的问题。切线长定理和判别方法切线长定理及其判别方法在几何题目中的应用，例如在解决圆和直线的位置关系问题。三角形内切圆与内心问题三角形内切圆的定义及其性质，以及在几何题目中的应用，例如在解决三角形内切圆和内心的问题。四条辅助线模型的运用四条辅助线模型在几何题目中的应用，例如在解决三角形面积和周长计算等问题。收官考试九年级知识综合测试讲评，帮助你全面掌握所学知识。

十字架模型大家好，今天我们来聊聊四边形中的一些常见几何模型和相似三角形的判定方法。这些内容虽然看似复杂，但其实非常有趣且实用。让我们一起来看看吧！模型一：对角互补模型 𐟓 这个模型分为两种情况：双直角互补和60Ⱕ’Œ120Ⱗš„互补。简单来说，就是在一个四边形中，对角线互相垂直且相等，或者对角线之间的角度和为180Ⱓ€‚这个模型在解题时非常有用，尤其是涉及到三角形三边关系和三点共线的问题。模型二：梯子模型 𐟏‹️‍♂️ 这个模型主要涉及三角形三边关系和三点共线的问题。在这个模型中，梯子的最高点可以视为三角形的外心，而梯子的两条斜边则是三角形的两条边。通过这个模型，我们可以更好地理解三角形的一些基本性质。模型三：十字架模型 ✝️ 这个模型在正方形中非常常见，由垂直推相等。简单来说，就是在一个正方形中，两条对角线互相垂直且相等。这个模型在解题时非常直观，能够帮助我们快速找到解题思路。模型四：中点四边形模型 𐟓 这个模型涉及到外边框四边形对角线的性质和内接中点四边形的邻边性质。通过这个模型，我们可以更好地理解四边形的一些基本性质，尤其是在涉及到中点四边形的问题时。相似三角形的判定方法 𐟔 平行于三角形一边的直线和其两边相交：所构成的三角形和原三角形相似（平行相似）。如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似（三边成比例）。如果两个三角形的两组对边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似（两边成比例且夹角相等）。如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（角加事）。如果两个三角形的斜边成比例，那么这两个三角形相似（斜直对应成比例）。拓展内容 𐟓š 除了以上提到的模型和判定方法，还有一些其他的有趣内容值得大家探索。比如“手手模型”、“飞镖模型”、“双垂直模型”等等。这些模型不仅有趣，还能帮助我们更好地理解几何的基本性质。希望这些内容对大家有所帮助！如果有任何问题或想法，欢迎在评论区留言讨论哦！𐟘Š

九年级上册数学知识点：圆 ### 圆的基本性质 𐟌ˆ 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“Q”，读作“圆Q”。圆的有关概念 𐟌 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。直径：经过圆心的弦叫做直径。弧的有关概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”。半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。垂直于弦的直径 ⊥ 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弧、弦、圆心角的关系 𐟌𑊥œ†心角定义：如图所示，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对的其余各对量也相等。圆周角 𐟌 圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90Ⱗš„圆周角所对的弦是直径。圆内接多边形 𐟔𙊤𘀤𘪥››边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。圆内接四边形的对角互补。圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）。点和圆、直线与圆的位置关系 𐟌Ÿ 点和圆的位置关系：设O的半径为r，点P到圆心的距离OPd，则有：点P在圆外：d>r 点P在圆上：d=r 点P在圆内：d

初中数学知识点：圆的性质与判定 𐟓š 圆的定义在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”。 𐟔 圆的有关概念弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。直径：经过圆心的弦叫做直径。弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”。半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。 𐟓 垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 𐟓˜ 弧、弦、圆心角的关系圆心角定义：如图所示，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 𐟌ˆ 圆周角圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 𐟔œ†内接多边形一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 𐟓 点与圆、直线与圆的位置关系点和圆的位置关系：设O的半径为r，点P到圆心的距离OP为d，则有：点P在圆外（d > r）点P在圆上（d = r）点P在圆内（d < r） 𐟔„ 圆的确定条件不在同一直线上的三点确定一个圆。 𐟓 三角形的外接圆外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。 𐟔 切线的判定定理和性质定理切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 𐟓 切线长及切线长定理圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。 𐟔 反证法假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。这种方法叫做反证法。 𐟓 直线和圆的位置关系相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

AMC10/12与AIME考试区别详解 1️⃣ 考试形式差异 AMC10：75分钟内完成25道选择题。 AIME：3小时内完成15道填空题。 AIME的填空题形式，使得考生无法使用排除法、试数法或度量法，需要深入理解题目，进行逐步推理和计算，掌握相应的知识点和解题技巧。 2️⃣ 知识点覆盖 AIME的知识点与AMC12大部分重合，但前10题多为AMC10/12的核心知识点，而后5题则涉及几何、数论和组合模块，是获得高分的关键。 AIME知识点细分：代数：对数、三角函数、复数与单位根、多项式的根、圆锥曲线、三维坐标系、多重数列求和。几何：三角形的多心问题、根轴与根心、塞瓦定理（Mass point方法）、位似变换、圆幂、圆内接四边形、内心与圆外切四边形、正余弦定理、Stewart定理。数论：高次同余方程、指数型同余计算问题、线性不定方程、中国剩余定理。组合：无穷时间状态的期望问题、标数递推、生成函数计数、递推计数、插板法。 3️⃣ 考察侧重点 AIME不侧重于性质或公式的套用，而是注重解题的灵活性和技巧性。例如，代数中需要掌握整体代换、因式分解、递推方法、对称式和轮换式、自相似、代数式几何含义等技巧。交叉领域的题目涉及多个模块的知识点。

中考数学分值占比大揭秘𐟓š 数学在中考中占据着举足轻重的地位，而其中的分值占比更是考生们关注的焦点。下面，我们就来详细解析一下中考数学的分值分布和各个题型的考察重点。选择题𐟎€‰择题主要侧重于基础知识的考核，涵盖了有理数运算、轴对称图形、平行线性质、科学记数、解方程、不等式、概率等多个知识点。今年的选择题难度适中，只要掌握了基础知识，基本能够拿到满分。值得一提的是，其中两题分别与“嫦娥六号”和长江流域的文化相关联，凸显了数学在实际生活中的应用。填空题𐟓 填空题主要考查了数据的众数、不等式组、二次方程、菱形等知识点。题型较为常规，重点在于考查学生对基本概念、基础知识和技能的把握程度。只要对这些知识点有深入的理解，解答填空题就不难了。 16-23题的详细分析𐟔 16题：计算题，综合考查了实数、指数幂、算术平方根的运算。这道题目需要学生熟练掌握这些基础运算。 17题：涉及角平分线的性质与定理、切线的判定，均为初中数学常见的知识点。这道题目要求学生能够灵活运用这些知识点。 18题：主要考查矩形的性质以及解直角三角形的实际应用。这要求学生对所学几何知识具备一定的综合运用能力。 19题：主要考查求平均数和求加权平均数。这道题目涉及较多计算与分析，数学思维要求较高，计算量也较大。 20题：本题主要考查二次函数的实际应用。设每吨降价 x 万元，每天的利润为 w 万元，利润等于每吨的利润㗩”€售量，列出 w 关于 x 的二次函数关系式，借助二次函数的性质进行求解。不但需要列式，还需具备分析能力，对数学思维能力有较强的要求。 21题：考查运用圆锥体知识解决问题。这道题目要求学生能够灵活运用圆锥体的相关知识进行解答。 22题：本题考查了旋转的性质、中位线的性质、外角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、圆内接四边形的对角互补等知识。熟练掌握这些知识点并能灵活运用是解题的关键。 23题：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点。熟练掌握其性质，并合理作出辅助线是解决此题的关键。通过以上分析，我们可以看出，中考数学考察的知识点非常全面，既有基础知识的考查，也有综合运用能力的考察。希望同学们能够认真复习，掌握好每一个知识点，取得优异的成绩！𐟒ꀀ

数学竞赛必备定理公式大全 𐟓š 初中数学竞赛中，掌握一些常用的定理和公式至关重要。以下是一些重要的数学定理，帮助你在竞赛中取得好成绩。中线定理 𐟓 AD为BC边上的中线结论：ABⲠ+ ACⲠ- 2(ADⲠ+ BDⲩ 垂线定理 𐟓˜ AD为BC边上的高结论：AB - BD = AC - CD 梅涅劳斯定理 𐟓– 一条直线与三角形ABC三边延长线交于R、Q、P 结论：AR/RB = PC'/QA = RC/PB 塞瓦定理 𐟓š 三角形内部一点O，延长AO、BO、CO交三边于X、Y、Z 结论：ZBXC / YAZC = XBYA 角平分线定理 𐟓 AD为∠BAC平分线结论：BD/CD = AB/AC 斯特瓦尔特定理 𐟓˜ D为BC边上一点结论：D(AB' + DC) + AC.BD - AD' - BC = BC.DC.BD 射影定理 𐟓– BAC=90Ⱟ𜌁D⊥BC 结论：AD' = BD - CD，AB' = BDⷂC，AC' = COⷂC 外森匹克不等式 𐟓š 三角形面积为S 结论：a + bⲠ+ cⲠ> 4√3S 西姆松定理 𐟓 过三角形ABC外接圆上一点P作三边延长线的垂线结论：三个足M、N、Q共线海伦公式 𐟓˜ AABC三边分别为a、b、c 结论：S△ABC = p(p - a)(p - b)(p - c)，其中p = (a + b + c)/2 燕尾定理 𐟓– AABC中，AD、BE、CF相交于同一点O 结论：S△AOB = S△AOC = S△BOC / 2 拖勒密定理 𐟓š 四边形ABCD为内接四边形结论：ACⷂD = ABⷃD + ADⷂC，AC - BD < AB - CDⷁD - BC，当且仅当ABCD四点共线时等号成立九点圆 𐟓 三角形三边的中点，三条边的垂足和各顶点与心连线的中点共线结论：九点圆的半径是三角形外接圆半径的1/2，九点圆的圆心在欧拉线上，为三角形内心外心的中点，九点圆的三个切点分别是三角形的三个内心点垂美四边形 𐟓˜ 对角线互相垂直的四边形ACBD 结论：AB' + CD' = AD' + BC'，P是矩形内任意一点，PA' + PC' = PB' + PD' 维维亚尼定理 𐟓– P是三角形ABC内任意一点，P到三边的距离分别是h1、h2、h3，三角形ABC的高为H 结论：h1 + h2 + h3 = H 炫切角定理 𐟓š PA切于A，PB切于B，PC切于C 结论：LPAC = PA / PC = PB / PC 圆幂定理 𐟓 相交弦定理：弦AB与弦CD交于P，PAⷐB = PCⷐD 切线定：PQ切圆于Q，线PB、PO交圆于A、C，PAⷐB - PCⷐD = PQ'Ⲋ莫利定理 𐟓˜ AABC各内角的三等分线交点，构成的三角形ADEF为等边三角形笛沙格定理 𐟓– AABC和AAIBICI甲，AAI、BBI、CCI交于一点P，AB与AB的交点D，BC与BIC的交点E，AC与ACI的交点F，三点共线

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