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四点共圆最新视觉报道_四点共圆的6种判定方法证明(2024年12月全程跟踪)

内容来源：云川SEO所属栏目：热点更新日期：2024-12-02

四点共圆

初中数学几何证明题解题技巧大揭秘 𐟎𘀧ž定初中数学几何证明题，学霸必备！直角三角形斜边中点模型模型4 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线。构造直角三角形斜边上的中线。模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，即CD=1/2AB，来证明线段间的数量关系。而且可以得到两个等腰三角形：AACD和ABCD，该模型经常会与中位线定理一起综合应用。直角三角形共斜边模型模型2 如图①、②，RIAABC和RAABD共斜边AB,取AB中点O。根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得：OC=OD=OA=OB。模型分析共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆。四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一。相似三角形模型模型1 A型和反A型已知:a1=a2 结论:AADE∽AABC 模型分析在相似三角形的判定中，我们常通过作平行线，从而得出A型或反A型相似。在做题时，我们也常常关注题目中由平行线所产生的相似三角形。共边共角型已知:a1=a2 结论：AACD∽AABC 模型分析上图中，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论。有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中由AACD∽AABC进而可以得到：AC=ADⷁB。角的飞镖模型模型2 如图所示,有结论:LD=A+B+C。解法一：如图①，作射线AD。 L3是AABD的外角，L3=B+21。 L4是AACD的外角，L4=C+2。图① BDC=L3+L4。 LBDC=LB+L1+L2+LC。 LBDC=LBAC+LB+C。解法二:如图②，连接BC。 2+4+D=180Ⱟ𜌄=180-(2+24)。 1+2+3+4+LA=180Ⱟ𜌌A+21+23=180Ⱝ(2+24)。 D=A+L1+L3。模型分析因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型。飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用。

「数学」「中考」初中数学重难点：四点共圆问题

初中数学几何辅助圆模型全解析 𐟎ŽŒ握这些技巧，轻松超越同龄人！建议打印收藏！在初中数学中，圆是唯一一个曲线图形，除了其基本性质和计算常被考察外，还可以用作辅助线。𐟐𐠥œ訧㩢˜过程中，除了等腰三角形和直角三角形，我们还可以使用“两圆一垂”和“两垂一圆”方法。特别是在涉及动点相关的最值问题时，这些方法特别常用。 𐟑‘ 这时候我们需要的圆其实并不存在，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，画出来，对于大家在解答初中数学题目时帮助巨大。 𐟙‹𐟙‹ 今天总结了一套初中数学中可以添加辅助圆模型的方法，建议大家先看文字，建立起来一个宏观感受之后，再收藏打印下来，希望能给各位带来帮助。 1⃣️ 利用圆的定义添补辅助圆 ✅ 到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法。简而言之，就是三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆。 2⃣️ 作三角形的外接圆 ✅ 任意不在同一直线上的三点共圆，但我们最常见到的确实是利用圆周角定理的推论，直角三角形在以斜边为直径的圆上。 3⃣️ 四点共圆 ✅ 【若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆】这是由书上圆内接四边形对角互补的性质拓展出来的一个应用，前者在中考中出现频率特别大，‼️ 只要出现了内接和四边形等字眼，一定要想着去应用这条性质‼️ 而由此拓展出来的一条判定四点共圆的方法在我们解决线段长度和最值相关的问题时，特别好用。 ✅ 【同底同侧有相等顶角的三角形，则各顶点四点共圆】（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）判断四点共圆后，就可以借助过这四点的辅助圆解题。这也是我们非常常见的一类共圆问题，还可以拓展到利用圆来构造相等的角。 𐟍Ž⭐️ 初中数学中的辅助圆模型能够给大家带来不同的解题思路，在今后高中数学的学习中也能给大家带来启发。

【赶紧学起来！《圆》提分笔记】圆来不过如此！初三数学《圆》全章预习笔记来啦，这13大类题型你都预习到了吗？ 1、垂径定理 2、圆周角定理及推论 3、点与圆的位置关系 4、直线与圆的位置关系 5、切线的性质 6、切线的判定 7、切线长定理 8、内切圆与外接圆 9、圆中的证明与计算 10、圆中的最值 11、四点共圆 12、圆幂定理 13、弧长和扇形面积初中数学笔记，初中数学知识点，中考数学，数学公式！ #自我提升指南# #中考加油#

AMC10数学竞赛五大模块全解析 𐟏†𐟏†𐟏†AMC10 考点𐟏†𐟏†𐟏† ⷊ1⃣️进阶代数：多项式，余数定理，韦达定理，根与系数的关系，特殊高次方程；进阶不等式、均值不等式；函数入门，定义域和值域、二次函数、指数函数、对比函数、简单三角函数；数列进阶；代数技巧进阶。 ⷊ2⃣️进阶几何：进阶几何作图；三角形进阶、正弦定理、余弦定理、内切圆和外切圆，斯图瓦尔特定理，共点和共线；圆和四边形，四点共圆，圆的外切四边形；正多边形，角度，周长和面积；进阶平面几何技巧；解析几何入门。 ⷊ3⃣️立体几何：点、线、面的关系，三维坐标系；立体几何作图；正多面体，欧拉公式；特殊的立体几何图形，立体几何技巧。 ⷊ4⃣️进阶数论：数，数组和序列；模运算，复杂同余问题；整数、分数和小数，进制转换；基本丢番图方程，进阶数论技巧。 ⷊ5⃣️进阶组合：容斥原理；二项式定理及相关结论；进阶排列、组合和概率；期望入门，递推、二分法，进阶组合方法。 ⷊ𐟔偍C代数+AMC几何重难点题型解析书电子版PDF（注：此处已删除引导获取资源的部分）

线段比例最值题第五十二回，也是两定一动求比例最值问题，确定动点轨迹是解题关键，分享两种判断方法。法一通过两次四点共圆发现点N到定线段BH的夹角为90度，可确定N在以BH为直径的圆上。其间，需判断直线BN平分线段AM，并利用三角形的重心是中线的三等分点的性质以获得直径BH的长。在确定N的轨迹为圆后，利用圆的割线定理进行转换，将两动线段转换成一定一动线段，再求出动线段最值即可获得比例最值。法二通过发现点N到A及AB的中点之比为定值利用阿氏圆方法确定N的轨迹为圆。更巧妙的是，在判断N的轨迹过程中出现的辅助线已自然天成地构造完成了能用上托勒密不等式的凸四边形，因此可直接利用托勒密不等式解得答案。当然，过程中需预判出现最值的大致位置，适当调整点M的位置以保证该四边形为凸四边形。附上一道线段比例最值题，欲知解法如何，且听下回分解。注：本回的题目及“法二”均引用自@善数堂的2024-2-5的百度动态，在此表示感谢！ #教育创作激励计划# #轻知计划#

𐟔„手拉手全等模型详解𐟔„ 𐟓Œ 手拉手模型要点：双等腰三角形共顶点顶角相等 𐟔 构建全等：连接左底角和右底角，左手拉左手，右手拉右手。 𐟓– 模型1：等边三角形 AABC和ADCE为等边三角形，点B、点C、点E在同一直线上，连接AE、BD交于点F。结论： BD = AE SABCD = SAACE LABF = ZDFE - 60ⰊABCHAACG BH = AG; CH = CG DH - EG ADCHAECG A、B、C、F四点共圆；C、F、D、E四点共圆。连接CF，CF平分ZBFE。连接HG，HGBE。构造8字型。 𐟓– 模型2：等腰三角形 AABC和AADE都是等腰三角形，且ZBAC = ZDAE。结论： BD = CE LABD = ZACE ADB = ZAEC BFC = ZBAC = ZDAE 点A、F、B、C四点共圆；点A、F、E、D四点共圆。连接AF，AF平分BFE。 𐟓– 模型3：等腰直角三角形 AABC和AADE都是等腰直角三角形，且ZBAC = ZDAE。结论： BE ⊥ CD 点A、F、B、C四点共圆；点A、F、E、D四点共圆。连接AF，AF平分BFD。 𐟓– 模型4：正方形正方形ABCD和正方形CEFG，点C是公共顶点。结论： ABCGADCE

𐟔„互补与对立：四点的奥秘𐟔ŸŒ€在四边形CBAD中，当BC两点固定时，A点与D点的选择变得至关重要。它们不仅决定了四边形各个角的大小，从而影响四边形的形状，还决定了四边形与圆心E的相对位置。𐟓 𐟔„关键在于，这四点必须满足内对角互补的原理。即，一个角大，另一个角就小，反之亦然。这种互补关系是四边形共圆的基础。𐟓 𐟒ᦜ‰趣的是，即使D点可以在圆上任意选择位置，不一定紧随A点之后，只要顺序连接这四点并保持对角互补的原理，四边形依然能够完美共圆。𐟌 𐟔除了内对角互补，还有其他判定四点共圆的方法。而且，无论你是否画出这个圆，这些定理都是成立的。𐟎𐟎‰探索数学世界的奥秘，就从这简单的四点开始吧！𐟚€

深圳中学24级数学竞赛班选拔考试真题深圳中学8月1号的新高一数学竞赛班考试试题#数学竞赛 𐟓… 考试时间：3小时 𐟓 总分：100分 𐟓„ 共1页6道题 𐟗‚️ 答题卡共2页 1️⃣ 因式分解（15分） (1) aⲠ- ab (2) a + ab + bⲊ(3) 6xⲠ- 23y - 20x + 5xy (4) 2x + x - 5x + 2 (5) x + x + 2xⲠ- x + 3 2️⃣ 三角形性质（15分）在△ABC中，ZA、ZB、LC的对边分别为a、b、C，求证：A为锐角当且仅当a < b + c 3️⃣ 内切圆与内心（15分）如图，是锐角△ABC的外接圆，O内切于点A，且与BC切于点D。点I是△ABC的内心，作△BCI的外接圆O2与O1交于点E、F。求证： A、D、O2三点共线 E、O1、F、O2四点共圆 4️⃣ 最值问题（15分）已知非负实数a、b、c满足a + b + c = 3，求a + ab + abc的最大值和最小值。 5️⃣ 单循环赛（20分）现有2n支队伍进行单循环赛（每队与其他2n-1支队伍分别进行一场比赛），满足以下条件：从中任意挑选n+2支队伍，必有一支队伍战胜其余n+1支队伍，也必有一支队伍被其余n+1支队伍战胜。求证：可以将这2n支队伍按照编号A1, A2, A3, ..., A2n的方式排列，使得编号为Ai的队伍战胜编号为Aj的队伍当且仅当i < j。 6️⃣ 数列问题（20分）已知数列an，满足a1 = 2，当n > 2且n ∈ N*时，an = an-1 * an-2 - 1。求证：对于任意质数p与正整数k，都存在相应的正整数n使得pn = pk。

【周末数学题】两个正方形和一个直角三角形搭配如图，小正方形四个顶点是大正方形四条边的中点，直角三角形两直角边长为3和5，直角边与小正方形的边的夹角为45⺯𜌦𑂥䧦�–𙥽⩝⧧