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三角形的外接圆在线播放_三角形的外接圆怎么画(2024年11月免费观看)

内容来源：云川SEO所属栏目：导读更新日期：2024-11-28

三角形的外接圆

𐟓š 九年级上册圆的知识点全解析 𐟔 圆的切线与切点：经过圆心作圆的切线，垂线经过切点；反之，经过切点作切线的垂线也经过圆心。 𐟓 切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 𐟔„ 圆和圆的位置关系：无公共点：外离（d > R + r）有唯一公共点：外切（d = R + r）有2个公共点：相交（R - r < d < R + r）有唯一公共点：内切（d = R - r）无公共点：内含（d < R - r） 𐟌ˆ 三角形的外接圆与内切圆：内心：三角形内心是三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心，到三角形三边的距离相等。外心：三角形外心是三边中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部。重心：三角形重心是三边中线的交点，在三角形内部。 𐟓Š 垂径定理：在直角三角形中，如果一条直角边是圆的直径，那么这条直角边所对的角是直角。 𐟔 弧、弦、圆心角、圆周角的关系：弧长公式：弧长 = 半径㗠圆心角（度数）。弦长公式：弦长 = 2 㗠半径㗠sin(圆心角/2)。圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等。 𐟓ˆ 圆的计算：阴影部分的面积计算，需要综合运用各知识求解。利用勾股定理、相似三角形等知识求解与圆相关的计算问题。 𐟎𛃤𙠩☨磦ž：证明直线DE是圆的切线。求图中阴影部分的面积。证明三角形内心、外心、重心的性质。利用垂径定理解决实际问题。利用弧长公式、弦长公式计算圆的周长和面积。

初中数学尺规作图模型全解析初中数学中的尺规作图题是必考内容，千万不要丢分！𐟓 作图题有时看似简单，有时稍显复杂，但解题方法总是从基础作图开始。𐟔 因此，考前再巩固，确保简单的题目不失分。✅ 题目十：已知三角形，作三角形的外接圆和内切圆。已知：如图，△ABC。求作：△ABC的外接圆和内切圆。作法：外接圆的圆心是△ABC三条边的垂直平分线的交点。转化为作AB、BC的垂直平分线交点，半径是交点与△ABC其中一个顶点的长度。内切圆的圆心是△ABC三个角的角平分线的交点。转化为作∠B、∠C的角平分线交点，半径是交点到△ABC其中一条边的长度。通过这些步骤，你可以轻松作出三角形的外接圆和内切圆。𐟎

欧氏几何中的经典问题与解法 𐟓œ 欧氏几何中的经典问题与解法 𐟔 在欧氏几何中，有许多经典的问题需要通过精心设计的证明来解决。以下是一些精选的问题和它们的解法： 𐟓– 问题：证明三角形内角和为180度。解法：通过作辅助线，将三角形分割成两个直角三角形，然后利用直角三角形的性质来证明。 𐟓 问题：证明勾股定理。解法：利用三角形的相似性和面积关系，通过构造相似三角形来证明勾股定理。 𐟔—˜：找出三角形外接圆的半径。解法：通过作三角形的三条垂直平分线，找到外接圆的圆心，然后计算半径。 𐟓 问题：证明三角形内角平分线定理。解法：利用角平分线的性质和三角形的相似性，通过构造相似三角形来证明。 𐟔 问题：找出三角形内心和外心的位置。解法：通过作三角形的三条角平分线和垂直平分线，找到内心和外心的位置。 𐟓 问题：证明正弦定理和余弦定理。解法：利用三角形的相似性和面积关系，通过构造相似三角形来证明正弦定理和余弦定理。 𐟔—˜：找出三角形的重心和垂心。解法：通过作三角形的三条中线和垂线，找到重心和垂心的位置。 𐟓 问题：证明平面几何中的一些基本性质，如平行线的性质、相似三角形的性质等。解法：利用已知的几何性质和定理，通过逻辑推理和几何作图来证明。这些问题只是欧氏几何中的冰山一角，还有许多其他有趣且富有挑战性的问题等待我们去探索和证明。通过这些问题的解决，我们可以更好地理解几何的本质和美感。

𐟔夹下圆的知识点大揭秘𐟔 𐟓š湘教版数学九下第2章，我们一起来探索《圆》的奥秘吧！𐟚€ 𐟔𕩦–先，让我们深入了解与圆有关的基本概念：圆、圆心、半径、弦（直径）、弧（优弧、劣弧）、圆心角、圆周角以及圆的切线。这些都是构成圆的基础元素，掌握它们是理解圆的关键。𐟌Ÿ 𐟔𔦎夸‹来，看看直线与圆的位置关系。它们可以是相交、相切或相离，这些关系在解决几何问题时非常重要。𐟓 𐟟 别忘了弧长与扇形面积的计算。这是圆的重要应用之一，能帮你解决很多实际问题。𐟧𐟟᦭䥤–，与三角形和多边形有关的圆也是本章的重点。比如三角形的外接圆和内切圆，以及四边形的外接圆等。这些都是几何学中的经典问题，需要你熟练掌握。𐟓˜ 𐟔𕦜€后，我们还会涉及到垂径定理等高级知识点。这是本章的难点，但掌握它将对你的数学能力有极大的提升。𐟒ꊊ𐟎‰通过本章的学习，你将更加深入地理解圆的性质和应用。在考试中，圆的内容也是必考题目，所以一定要认真准备哦！𐟒

𐟔𘉨璥𝢤𚔥🃥奧瘥䧦�˜ 𐟔 𐟌 三角形五心定律，揭秘三角形的奥秘！这五个心，每个都有其独特的性质和重要性。它们是：重心、外心、垂心、内心和旁心。让我们一一探索它们的特点吧！ 1️⃣ 重心定理：三角形的三条中线交汇于一点，这个点就是三角形的重心。重心到三角形三个顶点的距离平方和最小，这是数学中的一个小奇迹。 2️⃣ 外心定理：三角形的三边垂直平分线交汇于一点，这个点就是三角形的外心。外心是三角形外接圆的圆心，与内心相对应。 3️⃣ 垂心定理：三角形的三条高线交汇于一点，这个点就是三角形的垂心。垂心与重心、外心和内心共同构成了三角形的四心。 4️⃣ 内心定理：三角形的三个内角平分线交汇于一点，这个点就是三角形的内心。内心是三角形内切圆的圆心，与外心相对应。 5️⃣ 旁心定理：三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交汇于一点，这个点就是三角形的旁心。三角形有三个旁心，它们与重心、外心和内心共同构成了五心。 𐟔𙠧‰𙥈릏醒：正三角形是特殊的，它的重心、内心、外心和垂心四心合一，形成一个完美的几何点。这不仅是数学的奇迹，也是艺术的灵感来源。 𐟒ᠨ𝏨🙤𚛥†，理解三角形的五心，你就能更好地掌握几何学的奥秘！

𐟓三角形的五心大揭秘𐟒ኰŸ” 你是否对三角形的五心感到好奇？今天，我们就来一起探索这个数学奥秘！ 1️⃣ 重心 𐟓 三角形的重心是三边中线的交点。你知道吗，重心到三角形三个顶点的距离都相等哦！ 2️⃣ 垂心 𐟔芥ž‚心是三角形三边高线的交点。它有一个有趣的性质：三角形的三个顶点与垂心组成的垂心组，外接圆是唯一的！ 3️⃣ 外心 𐟌 外心是三角形三边中垂线的交点，也是三角形的外接圆的圆心。这里有个小提示，外接圆的半径就是外心到三角形顶点的距离哦！ 4️⃣ 内心 𐟒– 内心是三角形三边内角平分线的交点。它的特点在于到三角形三边的距离都相等，这个距离被称为内切半径。 5️⃣ 五心组合 𐟌Ÿ 当内心、外心和垂心组合在一起时，它们会形成一个有趣的五心组合。这个组合在数学上有着重要的地位和应用。 𐟎‰ 现在，你是不是对三角形的五心有了更深入的了解呢？希望这些信息能对你的学习和探索有所帮助！

触屏令牌：智商税背后的科技真相说到智商税，我特意查了一下百科，原来这是指那些看似高大上，实际上却被别人笑话的东西。在交互行业，也有很多这样的产品，其中一个特别暴利的例子就是触屏令牌识别。你知道吗？这个行业的行情价是四万，而成本只有五千！不过，尽管知道这是智商税，但有时候你不得不交，毕竟有人愿意接盘。再说，这些东西看起来确实很高大上，软硬结合，算法复杂，让人无从下手。今天，我就来给大家解密一下这个所谓的触屏令牌识别技术，让你知道这智商税是怎么交的，同时也让你明白，做韭菜也是需要实力的。首先，我们来说说这个技术的核心算法。其实很简单，小学二年级的数学水平就能搞定。原理是这样的：不共线的三个点可以确定一个圆。不共线的三个点可以确定一个圆。不共线的三个点可以确定一个圆。具体来说，不共线的三点相互连接会形成一个三角形，这个三角形称为圆的内接三角形，而这个圆则称为三角形的外接圆。三角形三边垂直平分线的交点就是外接圆的圆心。有了圆心，就能算出半径，进而确定顶角角度，有了角度就能算出ID，顺便还能算出旋钮角度。结合手机触屏的电容感应原理，每个令牌可以同时反馈三个触控点，根据距离或令牌大小换算成共圆。所以，整体配置就是一个电容触控屏和若干marker。因为触控屏一般能识别40个触控点，所以他们说可以支持十几个令牌，听起来是不是很酷？那么，你还想了解更多细节吗？

圆的基础知识梳理：从零开始到进阶 𐟌Ÿ 圆的基础概念定义：在一个平面内，线段OA绕固定的端点O旋转一周，另一个端点A的轨迹形成的图形叫做圆。相关概念：同圆：所有半径都相等的圆。同心圆：圆心相同的圆。等圆：大小形状完全相同的圆。三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆，称为三角形的外接圆。 𐟌ˆ 圆的性质与定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。弧、弦、圆心角关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半。切线长定理：由圆外一点作圆的两条切线，其切线长相等；圆心与这个点的连线平分两条切线形成的夹角。 𐟔 直线与圆的位置关系点与圆的位置关系：点在圆上、点在圆内、点在圆外。直线与圆的位置关系：相离、相切、相交。切线的性质与判定：圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 𐟎蠦�䚨𞹥𝢤𘎥œ† 正多边形：各条边相等，且各个内角也都相等的多边形叫正多边形。中心、半径、中心角、边心距：正多边形的中心是外接圆的圆心，半径是外接圆的半径，中心角是正多边形每一条边所对的圆心角，边心距是中心到正多边形边的距离。 𐟌ˆ 阴影部分面积的计算割补法：割割补补，哪里需要补哪里。拼凑法：拼拼凑凑，拼凑出新的图形。等积变形：利用平行线间距离处处相等，可找到等面积三角形。 𐟔 圆中的相似相交弦定理：弦AB与弦CD交于圆O内一点P，则PAⷐB=PCⷐD。切割线定理：P为圆O外一点，PA是圆的切线，PC是圆的割线，则PAP=PBⷐC。割线定理：P是圆O外一点，PB、PD是圆的两条割线，则PAⷐB=PCⷐD。

数学竞赛必备定理公式大全 𐟓š 初中数学竞赛中，掌握一些常用的定理和公式至关重要。以下是一些重要的数学定理，帮助你在竞赛中取得好成绩。中线定理 𐟓 AD为BC边上的中线结论：ABⲠ+ ACⲠ- 2(ADⲠ+ BDⲩ 垂线定理 𐟓˜ AD为BC边上的高结论：AB - BD = AC - CD 梅涅劳斯定理 𐟓– 一条直线与三角形ABC三边延长线交于R、Q、P 结论：AR/RB = PC'/QA = RC/PB 塞瓦定理 𐟓š 三角形内部一点O，延长AO、BO、CO交三边于X、Y、Z 结论：ZBXC / YAZC = XBYA 角平分线定理 𐟓 AD为∠BAC平分线结论：BD/CD = AB/AC 斯特瓦尔特定理 𐟓˜ D为BC边上一点结论：D(AB' + DC) + AC.BD - AD' - BC = BC.DC.BD 射影定理 𐟓– BAC=90Ⱟ𜌁D⊥BC 结论：AD' = BD - CD，AB' = BDⷂC，AC' = COⷂC 外森匹克不等式 𐟓š 三角形面积为S 结论：a + bⲠ+ cⲠ> 4√3S 西姆松定理 𐟓 过三角形ABC外接圆上一点P作三边延长线的垂线结论：三个足M、N、Q共线海伦公式 𐟓˜ AABC三边分别为a、b、c 结论：S△ABC = p(p - a)(p - b)(p - c)，其中p = (a + b + c)/2 燕尾定理 𐟓– AABC中，AD、BE、CF相交于同一点O 结论：S△AOB = S△AOC = S△BOC / 2 拖勒密定理 𐟓š 四边形ABCD为内接四边形结论：ACⷂD = ABⷃD + ADⷂC，AC - BD < AB - CDⷁD - BC，当且仅当ABCD四点共线时等号成立九点圆 𐟓 三角形三边的中点，三条边的垂足和各顶点与心连线的中点共线结论：九点圆的半径是三角形外接圆半径的1/2，九点圆的圆心在欧拉线上，为三角形内心外心的中点，九点圆的三个切点分别是三角形的三个内心点垂美四边形 𐟓˜ 对角线互相垂直的四边形ACBD 结论：AB' + CD' = AD' + BC'，P是矩形内任意一点，PA' + PC' = PB' + PD' 维维亚尼定理 𐟓– P是三角形ABC内任意一点，P到三边的距离分别是h1、h2、h3，三角形ABC的高为H 结论：h1 + h2 + h3 = H 炫切角定理 𐟓š PA切于A，PB切于B，PC切于C 结论：LPAC = PA / PC = PB / PC 圆幂定理 𐟓 相交弦定理：弦AB与弦CD交于P，PAⷐB = PCⷐD 切线定：PQ切圆于Q，线PB、PO交圆于A、C，PAⷐB - PCⷐD = PQ'Ⲋ莫利定理 𐟓˜ AABC各内角的三等分线交点，构成的三角形ADEF为等边三角形笛沙格定理 𐟓– AABC和AAIBICI甲，AAI、BBI、CCI交于一点P，AB与AB的交点D，BC与BIC的交点E，AC与ACI的交点F，三点共线

初中数学压轴题解析：技巧与答案 𐟓š 探索三角形中的网格问题专题15：三角函数中的网格问题例题：在初四数学压轴题中，经常遇到与网格有关的问题。例如，固定线段AB所对的动角C恒为90Ⱟ𜌥ˆ™A、B、C三点共圆，AB为直径。这个问题需要你理解网格中的几何关系，找出隐藏的圆模型。 𐟓 直角三角形中的实际应用专题16：解直角三角形的三种实际应用例题：在初四数学压轴题中，解直角三角形的三种实际应用是一个重要考点。例如，固定线段AB所对同侧动角ZP=ZC，则A、B、C、P四点共圆。这个问题需要你掌握并应用三角函数的性质和直角三角形的性质。 𐟓˜ 与圆有关的最值问题专题01：隐圆模型汇总例题：在初四数学压轴题中，与圆有关的最值问题是一个常见题型。例如，找出ABPC的外接圆的半径，并证明P点在BC上运动时，AP有最小值。这个问题需要你掌握并应用圆的性质和三角函数的性质。 𐟓š 三角形中的外接圆问题专题02：三角形中的外接圆问题例题：在初四数学压轴题中，三角形中的外接圆问题是一个重要考点。例如，找出ABPC的外心点并作出其外接圆，点P的运动轨迹就是BC。这个问题需要你理解并应用三角形的外接圆性质。 𐟓 直角三角形中的相似问题专题03：直角三角形中的相似问题例题：在初四数学压轴题中，直角三角形中的相似问题是一个常见题型。例如，在RtABCO中，找出满足特定条件的点P，并证明三角形相似。这个问题需要你掌握并应用三角形的相似性质。 𐟓˜ 与圆有关的最值问题专题04：与圆有关的最值问题例题：在初四数学压轴题中，与圆有关的最值问题是一个重要考点。例如，找出ABPC的外接圆的半径，并证明P点在BC上运动时，AP有最小值。这个问题需要你掌握并应用圆的性质和三角函数的性质。 𐟓š 三角形中的外接圆问题专题05：三角形中的外接圆问题例题：在初四数学压轴题中，三角形中的外接圆问题是一个重要考点。例如，找出ABPC的外心点并作出其外接圆，点P的运动轨迹就是BC。这个问题需要你理解并应用三角形的外接圆性质。 𐟓 直角三角形中的相似问题专题06：直角三角形中的相似问题例题：在初四数学压轴题中，直角三角形中的相似问题是一个常见题型。例如，在RtABCO中，找出满足特定条件的点P，并证明三角形相似。这个问题需要你掌握并应用三角形的相似性质。

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