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垂直平分线的交点新上映_三角形三边垂直平分线的交点的性质(2024年12月抢先看)

内容来源：云川SEO所属栏目：导读更新日期：2024-12-03

垂直平分线的交点

圆的内心和外心：你了解多少？ 1️⃣ 等弧的定义：能够完全重合的两条弧。【释义】不仅要长度相同（即弧长），还要弧度相同（即该弧所对的圆心角度数）。 2️⃣ 确定圆的条件：由不在同一直线上的三点确定一个圆。【释义】一是垂径定理的推论二描述：弦的垂直平分线经过圆心；二是不共线三点可组成一个三角形，三角形的外接圆唯一。想象一下，若三点共线，你能找到“确定”的圆心和半径吗？自我辨析一下。 3️⃣ 垂径定理及其推论：平分弦（这条弦不是直径）的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。【释义】仔细理解，建议背诵。 4️⃣ 外心：三角形外接圆的圆心。【释义】外心是垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等，描述的是点到点的距离相等。 5️⃣ 内心：三角形内切圆的圆心。【释义】内心是三个内角角平分线的交点，内心到三边的距离相等，描述的是点到直线的距离相等。【内外心做好辨析】 6️⃣ 切线性质：这个性质就不多说了，家人们，背吧，我已经无言以对。[失望R]

九年级上册数学《圆》知识点全解析 𐟓š 圆的基本性质定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“Q”，读作“圆Q”。弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。直径：经过圆心的弦叫做直径。弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”。半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。同心圆与等圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆；圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弧、弦、圆心角的关系圆心角定义：如图所示，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对的其余各对量也相等。圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90Ⱗš„圆周角所对的弦是直径。圆内接多边形定义：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。性质：圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）。点和圆、直线与圆的位置关系点和圆的位置关系设O的半径为r，点P到圆心的距离OP为d，则有：点P在圆外：d > r 点P在圆上：d = r 点P在圆内：d < r 符号“≌”读作“等价于”，它表示从符号“≌”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端。圆的确定条件不在同一直线上的三点确定一个圆。三角形的外接圆定义：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。概念说明： “接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点。锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。反证法假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。这种方法叫做反证法。反证法是一种间接证明命题的方法。用反证法证明命题的一般步骤：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。直线和圆的位置关系相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点（圆心）的位置关系。切线的判定定理和性质定理切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。注意：切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线。切线的判定定理实际上是从“圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切”这个结论直接得出来的。切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直。切线长及切线长定理圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量。 𐟓– 掌握这些知识点，你将能够更好地理解和解决与圆相关的数学问题。加油，数学小达人！

三角形五心总结：初中数学必备知识点三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心和旁心。以下是它们的详细总结： 𐟌Ÿ 外心定义：三角形外心是三角形外接圆的圆心，也是三边垂直平分线的交点。性质一：锐角三角形：外心在三角形内。直角三角形：外心在斜边上，与斜边中点重合。钝角三角形：外心在三角形外。等边三角形：外心与内心同一点。性质二：三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心，外心到三顶点的距离相等。 𐟒™ 内心定义：三角形内心是三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。性质：内心的点也是这个三角形内切圆的圆心，三角形内心到三角形三条边的距离相等。 𐟓 垂心定义：三角形的三条高线所在直线的交点叫做三角形的垂心。性质一：锐角三角形：垂心在三角形内。直角三角形：垂心在直角顶点上。钝角三角形：垂心在三角形外。性质二：三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。性质三：三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。（垂心伴随外接圆，必有平行四边形）性质四：等边三角形的重心把三角形的高分成2:1两段，靠近顶点的那段长度为高的三分之二。 𐟟⠦—心定义：三角形旁切圆的圆心，简称为三角形旁心。它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点。性质一：三角形的旁心是其一内角的平分线（所在直线）和其他两角的外角平分线的交点，每一个旁心到三边的距离相等。性质二：三角形的三个旁心与内心构成一垂心组，反过来，一个三角形的顶点与垂心是高的垂足三角形的旁心与内心。性质三：一个旁心与三角形三条边的端点连结所组成的3个三角形面积之比等于原三角形三条边长之比；三个旁心与三角形的一条边的端点连结所组成的三角形面积之比等于三个旁切圆半径之比。通过这些总结，可以更好地理解和掌握三角形的五心概念。

海宁中学创新班招生考试难度揭秘海宁中学创新班的招生考试难度竟然超过了镇海中学，真是让人惊讶！这次的考试题量很大，主要考察的是初稿衔接内容，题目难度基本都在中档及以上。由于试题质量非常高，非常适合2025年中考的同学用作初三模拟卷进行练习。部分题目解析选择题 tan Z0AE = ? 正确结论的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 在直角三角形ABC中，∠BAC = 90Ⱟ𜌁B = 6, AC = 8, 点P是△ABC所在平面内一点，则PA + PB + PC取得最小值时，下列结论正确的是（） A. 点P是ABC三边垂直平分线的交点 B. 点P是ABC三条内角平分线的交点 C. 点P是ABC三条高的交点 D. 点P是ABC三条中线的交点填空题已知a是一元二次方程xⲠ- x - 1 = 0的一个解，则代数式a - a + a = ? 如图，正八边形ABCDEFGH中，∠GFB = ? 二次函数y = axⲠ+ bx + c的图象如图所示，则不等式a(x - 2) + b(x - 2) + c < 0的解集为？有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上，每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则FG的长为？解答题如图，在平面直角坐标系中，抛物线y = axⲠ+ bx + c经过A(3,0)、B(-1,0)、C(0,3)。求抛物线的函数表达式。点D是线段BC上一动点，点D关于AC、AB的对称点分别为点M、N，连接MN交线段AC、AB于E、F。求MFⷎE最小值。在(2)的条件下，请直接写出线段MN的取值范围。如图，在矩形ABCD中，AD = 4cm，DC = 3cm，对角线AC、BD相交于点O，动点P、Q分别从点C、A同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿C→O→B运动到点B停止，点Q沿A→D→C运动到点C停止，连接AP，AQ，PQ，设△APQ的面积为y(cmⲩ（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点Q的运动时间为x(s)。当PQ ∥ CD时，求x的值。当3 ≤ x ≤ 7时，求y与x之间的函数关系式。直接写出在整个运动过程中，使AQ = PQ的所有x的值。这次海宁中学的创新班招生考试真是让人眼前一亮，不仅题目难度大，而且内容也非常丰富。希望这些题目能对大家有所帮助，加油！𐟒ꀀ

三角形的五心总结表格三角形的五心包括重心、外心、内心、垂心和旁心，它们各自有着独特的性质和几何意义。以下是详细解析： 1️⃣ 重心（G）：三角形三条中线的交点，称为三角形的重心。设G为ABC的重心，则G是ABC的重心。 2️⃣ 外心（O）：三角形三边垂直平分线的交点，称为三角形的外心（外接圆的圆心）。设O为ABC的外心，则有以下性质： OA = OB = OC； ∠BOC = 2∠BAC，∠LAOC = 2∠ABC，∠LAOB = 2∠ACB。 3️⃣ 内心（I）：三角形三条内角平分线的交点，称为三角形的内心（内切圆的圆心）。设I为ABC的内心，则有以下性质：到三边距离相等； ∠BIC = 90Ⱐ+ ∠ACB。 4️⃣ 垂心（H）：三角形三边高所在直线的交点，称为三角形的垂心。设H为ABC的垂心，则有以下性质： AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB； A, F, H, E；B, D, H, F；C, E, H, D；C, E, F, B；C, A, F, D；A, B, D, E共六组四点共圆。 5️⃣ 旁心（Q）：三角形盘切圆的圆心，称为三角形的旁心。旁切圆是与三角形的一边外侧相切，又与另两边的延长线相切的圆。设Q为ABC的旁心，则有以下性质：每个三角形都有三个旁心，三个旁切圆，旁心都在三角形外部；旁心到三角形三边的距离相等；旁心是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点；直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。通过这些性质，我们可以更好地理解和应用三角形的五心概念。

三角形的心脏与线条：记忆小技巧三角形的“四心”：重心：三角形三条中线的交点。重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。内心：三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。内心到三角形三边的距离相等。外心：三角形三条边的垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。外心到三角形三个顶点的距离相等。垂心：三角形三条高所在直线的交点。三角形的“五线”：中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。高线（或叫垂线段）：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。中位线：连接三角形两边中点的线段。中位线平行于第三边，且长度为第三边的一半。中垂线（垂直平分线）：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线。

𐟓三角形的五心大揭秘𐟒ኰŸ” 你是否对三角形的五心感到好奇？今天，我们将带你一起探索这个数学之谜！ ❤️ 内心：三角形三条角平分线的交点，也是内切圆的圆心。它到三角形三边的距离都相等哦！ 𐟒š 外心：三角形三边中垂线的交点，也就是外接圆的圆心。你知道吗？它的性质可多了！ 𐟒› 垂心：三角形三条高的交点，这个心可是三角形的重要角色之一呢！ 𐟒™ 重心：三角形三边中线的交点，它可是三角形的稳定支撑点哦！ 𐟒œ 旁心：三角形一个内角的平分线与其他两个内角的外用平分线的交点，虽然它有点“旁”门左道，但也是数学世界中的一道亮丽风景线。 𐟎‰ 现在，你是不是对三角形的五心有了更深入的了解呢？快来试试这些性质吧，相信你会爱上数学的魅力！

探索过三点的圆的奥秘 𐟌ˆ 嘿，大家好！今天我们来聊聊一个超级有趣的话题——过三点的圆。相信很多同学都遇到过这样的问题：两个点能确定一条直线，那么两个点能确定一个圆吗？三个点呢？让我们一起来探究一下吧！两点确定一条直线，但不一定能确定一个圆 𐟓 首先，我们来看看两个点的情况。两个点在平面上确实能确定一条直线，但它们并不能确定一个唯一的圆。为什么呢？因为你可以在无数个不同的位置上画一个圆，只要这个圆的圆心在这条直线上就行了。所以，经过两点的圆有无数个。三点确定一个圆，但只有特定情况下 𐟌• 那么，三个点呢？三个点在平面上不一定能确定一个圆，但也不是完全不可能。如果这三个点不在同一条直线上，那么它们就能确定一个唯一的圆。这个圆的圆心是这三条直线的垂直平分线的交点。想象一下，就像三条线的交点一样，这三个点的圆心也是唯一的。特殊情况：三点共线 𐟚늊如果这三个点在同一条直线上，那就另当别论了。这时候，无论你怎么画，都无法找到一个能同时经过这三点的圆。所以，过三点共线的圆是不存在的。确定圆的条件 𐟓 总结一下，不在同一条直线上的三点能确定一个圆，而两点则不能确定一个唯一的圆。这个结论在数学上是非常重要的，因为它帮助我们更好地理解几何和圆的基本性质。实际问题 𐟛 ️ 现在，我们来看看一些实际问题。比如，已知一个直角三角形的两条直角边，我们怎么求这个三角形的外接圆半径呢？或者，有一个残破的圆形轮子，我们怎么确定它的圆心并重新浇铸一个一模一样的轮子呢？这些问题都需要我们运用过三点的圆的原理来解决。小结 𐟓 通过今天的讨论，我们知道了两点不能确定一个唯一的圆，但三点（不在同一直线上）可以确定一个圆。这个结论不仅在数学上重要，也在实际问题中有广泛的应用。希望这篇文章能帮助大家更好地理解圆的性质和几何原理！好了，今天的数学日记就到这里，我们下次再见！𐟑‹

无刻度直尺作图的核心考点与技巧在武汉的中考中，无刻度直尺作图是一个非常重要的考点。以下是一些关键的方法和技巧，帮助你更好地掌握这个知识点。分割线段 𐟓 首先，我们可以通过分割线段来解决问题。例如，在给定的网格中，找到线段的某个点，使得这个点到线段两端的距离相等。这样，我们就可以通过作图来找出这个点。垂直处理 𐟓 垂直处理是另一个重要的技巧。我们可以通过旋转或整体旋转（90Ⱟ𜉦夺䦍⦨ꧺ𕥝标，从而找到垂直平分线的交点。例如，在给定的网格中，找到两个点的垂直平分线，然后利用这些线来构造等腰直角三角形。垂直平分线的处理策略 𐟔„ 对于垂直平分线的处理，我们可以通过取线段的中点来构造等腰直角三角形。然后，利用这个三角形的斜边上的中点来找到垂直平分线。例如，在给定的网格中，找到两个点的中点，然后作垂线。等线段的处理策略 𐟓 等线段的处理策略是通过构造线段的垂直平分线来找到等长的线段。例如，在给定的网格中，找到两个点的垂直平分线，然后利用这些线来构造等腰直角三角形。平移处理与整体平移 𐟛䯸平移处理和整体平移是两种重要的技巧。我们可以通过平移线段来找到新的点，或者通过整体平移来找到对称点。例如，在给定的网格中，找到两个点的对称点，然后利用这些点来构造新的图形。对称与最值 𐟓Š 最后，对称与最值是另一个重要的考点。我们可以通过构造对称轴来找到对称点，或者通过处理轴对称图形来找到最小值或最大值。例如，在给定的网格中，找到两个点的对称点，然后利用这些点来构造新的图形。通过这些方法和技巧，你可以更好地掌握无刻度直尺作图的核心考点，从而在中考中取得更好的成绩。

南京九上数学期中试卷分析：细节决定成败这次南京九上数学期中试卷，难度不算特别大，但细节之处需要特别注意。以下是各题目的分析：中等题 𐟓 第5题和第16题属于同一类型，都是动角隐圆问题。关键是要抓住不动的点和特殊角，然后根据点到圆的距离来求解。第15题 𐟔 这道题需要理解ABC三点与圆的关系。圆是ABC的外接圆，所以圆心一定是三角形三边垂直平分线的交点。通过勾股方程可以解题。偏难题 𐟧銧쬲2题 𐟓ˆ 这道题容易掉进陷阱，函数关系式表示的是销售量与降价之间的关系。利润等于每千克的利润乘以所卖千克数。第25题 𐟖Œ️ 第二问作图的基础是第一问的结论。注意作图的准确性和完整性。第26题 𐟧銨🙦˜炙典的定义新运算题目。解题思路就是复刻题目给出的方法，但要注意从特殊到一般的转化，过程要写完整。第27题 𐟔 这道题涉及极限值的分类讨论。E在AD上，所以OE≥3。3,4,24/5等都是极限值。极限值由圆与线的特殊位置关系相切决定，确定了相切的半径后，圆与线的交点个数就很好判断了。总结 𐟓 总体来说，这份试卷难度不大，但需要注意细节较多。对初三同学而言，学好知识点不难，综合运用、细节把握以及能否及时完成题目，才是考到满意分数的关键。

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