半径1,中心角60°のおうぎ形に内接する円の半径を求める | 数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

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(図のように)半径1の円の中心角が60度のおうぎ形に内接する円があります。この小さな円の半径を求めなさい。
A circle is inscribed in a 60° sector of a circle of radius 1 (as shown). What is the radius of the small circle?

円の中の円



おうぎ形に内接する円


Solution:
解答と解説:
1/3. Call the radius of the small circle r. Consider the line containing the two centers O, P, and the intersection point Q (as shown). Drop a perpendicular from P to the sector boundary at S. The measure of ∠POS = 30°, so OP = 2PS = 2r. Then OQ = OP + PQ = 2r + r = 3r = 1. Hence, r = 1/3.
答は1/3です。小さな円の半径をrとします。(図に示されているように)2つの円の中心O,Pを結ぶ線分と円周との交点Qについて考察します。点Pからおうぎ形の半径(辺)に垂線をおろし、その足を点Sとします。∠POSの大きさは30°ですから、(30°,60°,90°の直角三角形の辺の比1:2:√3を使って、)OP=2PS=2rになります。
よって、OQ=OP+PQ=2r+r=3r=1になり、r=1/3になります。

(訳注)
図は省略してあります。


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