平方差公式（2）（北师大版）

1.5.2平方差公式（2）数学（北师大版）七年级

下册第一章整式的乘除学习目标灵活地运用平方差公式进行简便计算.2.了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法.3.利用平方差公式解答简单问题.

导入新课

王敏同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王敏就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说：“你好像是个神童，怎么算得这么快？”

王敏同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式.”

你知道王敏同学用的是一个什么样的公式吗？

导入新课1.平方差公式：(a+b)(a－b)=a2－b2

2.公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差。3.应用平方差公式的注意事项

1）注意平方差公式的适用范围

2）字母a、b可以是数，也可以是整式

3）注意计算过程中的符号和括号讲授新课一平方差公式的几何验证如图1,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.ab图1讲授新课(1)请表示图1中的阴影部分的面积.(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形(图2)，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？a2-b2长=a+b;宽=a-b;面积=(a+b)(a-b)(3)比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？由于(1)(2)表示的面积相同，所以可以验证平方差公式.abab图1图2讲授新课aabba+ba-bbb几何验证平方差公式讲授新课aabba2-b2abbb(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)=a2-b2a-ba-b讲授新课aaa2baa2-b2ab讲授新课baab12(a+b)(a-b)12(a+b)(a-b)baab(a+b)(a-b)=a2-b2讲授新课平方差公式的运用二

想一想：（1）计算下列各式，并观察他们的共同特点：6×8=4814×16=22469×71=48997×7=49

15×15=225

70×70=4900

（2）从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？(a+b)(a−b)=a2−b2讲授新课例1

计算:(1)103×97;(2)118×122.解:103×97=(100+3)(100－3)=1002－32=10000–9=9991；解:118×122=(120－2)(120＋2)=1202－22=14400－4=14396.注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用讲授新课例2

计算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;(2)(2x－5)(2x+5)–2x(2x－3).解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2=a4－a2b2+a2b2=a4;(2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x)=4x2－25－4x2+6x=6x－25.讲授新课例3对于任意的正整数n，整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的整数倍吗？即(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值是10的倍数．解：原式＝9n2-1-(9-n2)＝10n2-10.因为(10n2-10)÷10=n2-1.n为正整数，所以n2-1为整数方法总结：在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．1.如图，在边长为a的正方形中裁掉一个边长为b的小正方形(如图1)，将剩余部分沿虚线剪开后拼接(如图2)，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证等式()A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2D.(a-b)2=a2-2ab+b2A当堂检测2.如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）A．x2﹣2x+1＝（x-1）2 B．x2-1＝（x+1）（x-1） C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2-x＝x（x-1）B当堂检测3.计算a2-(a+1)(a-1)的结果是()A.1B.-1C.2a2+1D.2a2-1A4.计算20202-2019×2021=____.15.已知a-b=1，a+b=2021，则a2-b2的值为_____.2021当堂检测解:(1)102×98=1002-22=10000–4=（100＋2）(100－2)=9996；6.计算:(1)102×98;(2)51×49;(2)原式=（50＋1）(50－1)=502-12=2500–1=2499；当堂检测7.计算:(1)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)(2)(y+2)(y-2)–(y-1)(y+5).解:(1)原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)（2）原式=y2-22-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1.=9x2-16-6x2-5x+6=3x2-5x-10.当堂检测8.计算：20152－

2014×2016.解：20152

－

2014×2016=20152－

(2015－1)(2015+1)=20152－（20152－12)=20152－

20152+12=1当堂检测9.对于任意一个正整数n，整式A=(4n+1)·(4n-1)-(n+1)·(n-1)能被15整除吗？请说明理由.解:能.理由如下：A=(4n)2-1-(n2-1)=16n2-1-n2+1=15n2.因为n是正整数，所以15n2一定能被15整除.当堂检测10.如果两个连续奇数分别是2n-1，2n+1（其中n为正整数），证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.证明：（2n+1）2-(2n-1)2=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n因为8n是8的倍数，所以结论成立.注意：逆用了平方差公式奥！当堂检测课堂小结平方差公式的应用及注意事项两个应用四点注意1.利用平方差公式简化一些数字计算.2.逆用平方差公式进行化简、计算.1.必须符合平方差公式的结构特征.2.有些式子虽然不能直接应用公式，但经过适当变形或变换符号后可以运用公式进行化简、计算.3.计算结果一定要注意字母的系数，指数的变化.4.在运算过程中，有时可以反复应用公式.谢谢~