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凸四边形的外接圆最新版_凸四边形都有外接圆(2024年12月实测)

内容来源：云川SEO所属栏目：导读更新日期：2024-12-01

凸四边形的外接圆

𐟓š 初三数学知识点全解析（三）𐟓 ### 平行线与三角形平行线等分线段定理及其推论1、2 三角形、梯形的中位线定理平行线间的距离处处相等（例如，找面积相等的三角形）重要辅助线常连结四边形的对角线梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形作图：任意等分线段圆的基础知识圆的定义弦、直径；弧、等弧、优弧、劣弧、半圆；弦心距；等圆、同圆、同心圆等概念 “三点定圆”定理垂径定理及其推论 “等对等”定理及其推论与圆有关的角圆心角定义（等对等定理）圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）弦切角定义（弦切角定理）直线与圆的位置关系三种位置及判定与性质：相离、相切、相交切线的性质（重点）切线的判定定理（重点）圆的切线的判定方法切线长定理圆与圆的位置关系五种位置关系及判定与性质（重点：相切）外离、外切、相交、内切、内含相切（交）两圆连心线的性质定理两圆的公切线：定义和性质与圆有关的比例线段相交弦定理切割线定理正多边形与圆圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）三角形的外接圆、内切圆及性质圆的外切四边形、内接四边形的性质正多边形及计算：中心角、内角的一半等计算公式圆周长公式圆面积公式扇形面积公式弧长公式弓形面积的计算方法圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算点的轨迹六条基本轨迹作图作三角形的外接圆、内切圆平分已知弧作已知两线段的比例中项等分圆周：4、8；6、3等分基本图形与辅助线作半径见弦往往作弦心距见直径往往作直径上的圆周角切点圆心莫忘连两圆相切公切线（连心线）两圆相交公共弦

外接球 𐟓š 外接球与内切球，是数学中的两大难题，但掌握了这些技巧，就能轻松应对。 𐟔 对于外接球问题，我们总结出了秒杀的万能公式。例如，在三棱锥C-ABD中，记平面ABC与平面ABD交线长AB=1，二面角C-AB-D的二面角的平面角为𜌁ABD、AAC的外接圆的圆心分别为O、Q、E，其中QE=m，O、E=n。三棱锥外接球半径为R，首先00=0,E+0.6-20E.0,Ecos=m*+nⲭ2mcs。图中O、O、E、Q四点共圆，这个四边形外接圆的半径与三角形OO、E外接圆半径相等，且AOQ、EO外接圆直径为sin𜌅OsinR-0+AE-m+-2m sinsin€‚ 𐟔 对于内切球问题，我们也有一套解题策略。例如，在三棱锥A-BCD中，若一个三棱锥存在同一起点出发的三条棱两两垂直，则可将这个三棱锥补成一个长方体，这个三棱锥的外接球和补成的长方体的外接球是一样的。若一个三棱锥三组对角分别相等，则可将这个三棱锥放到长方体里面，它的外接球和长方体的外接球是一样的。 𐟎‰ 通过这些技巧和方法，我们可以轻松解决各种外接球与内切球的问题。快来试试吧！

高中数学立体几何：球的切接与截面翻折 𐟓š 高中数学专题整理——立体几何 𐟔 球的切、接问题及截面、翻折问题外接球题型归类三线垂直图形计算公式：三棱锥三线垂直→还原成长方体→2R=aⲫb+c 长方体（正方体）的特殊性质三棱锥对棱相等：mⲫnⲫpⲽ2RⲊ等边三角形与等腰直角三角形连接投影为矩形线面垂直型线垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形），外接圆半径是r，满足正弦定理计算公式：R=PC+2；其中21-sinⲎ𘊩⩝⥞‚直型一般情况下，两面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型垂线相交型等边或者直角：等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心。许多情况下，会和二面角结合求多面体的外接球半径的常见方法三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径如果涉及几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心立体几何中截面的处理思路直接连接法有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程作平行线法过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线作延长线找交点法若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线辅助平面法若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面 𐟓– 制作：习理科实验室（数学教研组）

𐟔夹下圆的知识点大揭秘𐟔 𐟓š湘教版数学九下第2章，我们一起来探索《圆》的奥秘吧！𐟚€ 𐟔𕩦–先，让我们深入了解与圆有关的基本概念：圆、圆心、半径、弦（直径）、弧（优弧、劣弧）、圆心角、圆周角以及圆的切线。这些都是构成圆的基础元素，掌握它们是理解圆的关键。𐟌Ÿ 𐟔𔦎夸‹来，看看直线与圆的位置关系。它们可以是相交、相切或相离，这些关系在解决几何问题时非常重要。𐟓 𐟟 别忘了弧长与扇形面积的计算。这是圆的重要应用之一，能帮你解决很多实际问题。𐟧𐟟᦭䥤–，与三角形和多边形有关的圆也是本章的重点。比如三角形的外接圆和内切圆，以及四边形的外接圆等。这些都是几何学中的经典问题，需要你熟练掌握。𐟓˜ 𐟔𕦜€后，我们还会涉及到垂径定理等高级知识点。这是本章的难点，但掌握它将对你的数学能力有极大的提升。𐟒ꊊ𐟎‰通过本章的学习，你将更加深入地理解圆的性质和应用。在考试中，圆的内容也是必考题目，所以一定要认真准备哦！𐟒

初中数学几何辅助圆模型全解析 𐟎ŽŒ握这些技巧，轻松超越同龄人！建议打印收藏！在初中数学中，圆是唯一一个曲线图形，除了其基本性质和计算常被考察外，还可以用作辅助线。𐟐𐠥œ訧㩢˜过程中，除了等腰三角形和直角三角形，我们还可以使用“两圆一垂”和“两垂一圆”方法。特别是在涉及动点相关的最值问题时，这些方法特别常用。 𐟑‘ 这时候我们需要的圆其实并不存在，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，画出来，对于大家在解答初中数学题目时帮助巨大。 𐟙‹𐟙‹ 今天总结了一套初中数学中可以添加辅助圆模型的方法，建议大家先看文字，建立起来一个宏观感受之后，再收藏打印下来，希望能给各位带来帮助。 1⃣️ 利用圆的定义添补辅助圆 ✅ 到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法。简而言之，就是三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆。 2⃣️ 作三角形的外接圆 ✅ 任意不在同一直线上的三点共圆，但我们最常见到的确实是利用圆周角定理的推论，直角三角形在以斜边为直径的圆上。 3⃣️ 四点共圆 ✅ 【若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆】这是由书上圆内接四边形对角互补的性质拓展出来的一个应用，前者在中考中出现频率特别大，‼️ 只要出现了内接和四边形等字眼，一定要想着去应用这条性质‼️ 而由此拓展出来的一条判定四点共圆的方法在我们解决线段长度和最值相关的问题时，特别好用。 ✅ 【同底同侧有相等顶角的三角形，则各顶点四点共圆】（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）判断四点共圆后，就可以借助过这四点的辅助圆解题。这也是我们非常常见的一类共圆问题，还可以拓展到利用圆来构造相等的角。 𐟍Ž⭐️ 初中数学中的辅助圆模型能够给大家带来不同的解题思路，在今后高中数学的学习中也能给大家带来启发。

九年级上册数学知识点：圆 ### 圆的基本性质 𐟌ˆ 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“Q”，读作“圆Q”。圆的有关概念 𐟌 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。直径：经过圆心的弦叫做直径。弧的有关概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”。半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。垂直于弦的直径 ⊥ 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弧、弦、圆心角的关系 𐟌𑊥œ†心角定义：如图所示，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对的其余各对量也相等。圆周角 𐟌 圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90Ⱗš„圆周角所对的弦是直径。圆内接多边形 𐟔𙊤𘀤𘪥››边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。圆内接四边形的对角互补。圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）。点和圆、直线与圆的位置关系 𐟌Ÿ 点和圆的位置关系：设O的半径为r，点P到圆心的距离OPd，则有：点P在圆外：d>r 点P在圆上：d=r 点P在圆内：d

初中数学知识点：圆的性质与判定 𐟓š 圆的定义在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”。 𐟔 圆的有关概念弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。直径：经过圆心的弦叫做直径。弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”。半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。 𐟓 垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 𐟓˜ 弧、弦、圆心角的关系圆心角定义：如图所示，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 𐟌ˆ 圆周角圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 𐟔œ†内接多边形一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 𐟓 点与圆、直线与圆的位置关系点和圆的位置关系：设O的半径为r，点P到圆心的距离OP为d，则有：点P在圆外（d > r）点P在圆上（d = r）点P在圆内（d < r） 𐟔„ 圆的确定条件不在同一直线上的三点确定一个圆。 𐟓 三角形的外接圆外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。 𐟔 切线的判定定理和性质定理切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 𐟓 切线长及切线长定理圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。 𐟔 反证法假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。这种方法叫做反证法。 𐟓 直线和圆的位置关系相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

南京市九上联合体期中数学试卷及答案解析 𐟓„ 22. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AB/CD。求证：四边形ABCD是矩形。 𐟓 23. 某商店经销的某种商品，每件成本为30元。经市场调研，售价为40元时，可销售600件；售价每涨价1元，销售量将减少10件。如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利10000元。问：该商店销售了这种商品多少件？每件售价多少元？ 𐟓˜ 24. 已知AB是圆的弦。（1）如图①，只用无刻度的直尺作弦CD，使CD=AB；（2）如图②，用无刻度的直尺和圆规作弦CD，使CD=AB，且AB与CD的夹角为60Ⱓ€‚ 𐟔 25. 定义：如果关于x的一元二次方程axⲫbx+c=0（a,b,c均为常数，a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”。（1）下列方程中，是“邻根方程”的是（填序号）：①xⲫx=0；②xⲭ2x+1=0；③xⲫ3x+2=0。（2）若(x-2)(x+n)=0是“邻根方程”，求n的值。（3）若一元二次方程xⲫbxc=0（b,c均为常数）为“邻根方程”，直接写出b,c满足的数量关系。 𐟌 26. 如图，在四边形ABCD中，AB=AC，AA'BC的外接圆OO交CD于点E。（1）若AD⊥BC，求证：AD是OO的切线；（2）若E是AC的中点，且AE=2~5，AC=8，求BC的长。 𐟓 27. 【概念理解】定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。例如，如图①，AB与OO相切于点C，CD是OO的弦，则LACD和BCD都是OO的弦切角。【性质探究】（1）性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。已知：如图②，AB与OO相切于点C，OO是ACDE的外接圆。求证：LBCD=ZE。【性质应用】（2）如图②，AB与OO相切于点C，CD是OO的弦，E是OO上的动点，存在ACDE是等腰三角形。若ZBCD=a，则ZD的度数为（用含š„代数式表示）。（3）如图④，AB是OO的弦，C是OO上的动点，OO的半径为5，AB=8。若四边形ABCD有一条边所在的直线与OO相切，且有一条对角线平分一组对角，直接写出所有满足条件的四边形ABCD的形状。

福州九年级数学模拟试卷精选 ### 1. 抛物线与坐标点抛物线方程：已知抛物线y=ⲫx经过点(2,6)和(4,4)，求抛物线的解析式。解析：根据已知条件，可以列出方程组求解š„值，进而得到抛物线的解析式。矩形中的三角形已知矩形ABCD中，AB=3，BC=10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F。求证：AAEDAFAB；若AF=8，求线段BE的长。解析：利用矩形的性质和直角三角形的性质，可以求出BE的长度。圆的性质已知A=OB，AB交OO于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F。求证：AC=BD；若OF=2EF，CD=8，求OO直径的长。解析：利用圆的性质和已知条件，可以求出OO的直径。价格调整问题突如其来的新冠疫情影响了某商场的经济效益，复工复产后商场对某种商品价格进行了调整。已知该商品进价提高了8元定为销售价格，此时8件的进价恰好相当于6件的售价，且每天可售出200件。如果每件再涨价1元，每天就会少售出5件。求该商品的售价和进价各是多少元；若在进价不变的条件下，确保每天所得的销售利润为2035元，且销售量尽可能大，则该商品应再涨价多少元。解析：利用价格和销售量的关系，可以求出商品的售价和进价，以及再涨价的金额。尺规作图已知ABC，请用尺规作图法在线段BC上找一点D，使AC=CDCB。解析：利用尺规作图法，可以找出符合条件的点D。四边形与外接圆如图，O是四边形的外接圆，直径为10，过点D作DP⊥AB，交BA的延长线于点P，AD平分LPAC。若AC是OO的直径，求证：PD与OO的相切；若AC是OO的直径，弧AB=弧BC，求PDC的度数；若BC=CD，求AB+AD的最大值。解析：利用四边形和外接圆的性质，可以求出相关角度和长度。抛物线与坐标轴如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(1,2)在抛物线y=x+bx+c上，该抛物线与y轴交点的纵坐标为-1。求抛物线的解析式；当点A与点P关于该抛物线的对称轴对称时，求AOAP的面积；当-2≤x≤m时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，直接写出m的取值范围；设此抛物线在点A与点P之间部分(含点A和点P）的图象为G，且函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，过点A作垂直于y轴的直线1，当该抛物线的最低点到直线1的距离是点P到直线1的距离的2倍时，直接写出m的值。解析：利用抛物线的性质和已知条件，可以求出相关长度和角度。

数学竞赛必备定理公式大全 𐟓š 初中数学竞赛中，掌握一些常用的定理和公式至关重要。以下是一些重要的数学定理，帮助你在竞赛中取得好成绩。中线定理 𐟓 AD为BC边上的中线结论：ABⲠ+ ACⲠ- 2(ADⲠ+ BDⲩ 垂线定理 𐟓˜ AD为BC边上的高结论：AB - BD = AC - CD 梅涅劳斯定理 𐟓– 一条直线与三角形ABC三边延长线交于R、Q、P 结论：AR/RB = PC'/QA = RC/PB 塞瓦定理 𐟓š 三角形内部一点O，延长AO、BO、CO交三边于X、Y、Z 结论：ZBXC / YAZC = XBYA 角平分线定理 𐟓 AD为∠BAC平分线结论：BD/CD = AB/AC 斯特瓦尔特定理 𐟓˜ D为BC边上一点结论：D(AB' + DC) + AC.BD - AD' - BC = BC.DC.BD 射影定理 𐟓– BAC=90Ⱟ𜌁D⊥BC 结论：AD' = BD - CD，AB' = BDⷂC，AC' = COⷂC 外森匹克不等式 𐟓š 三角形面积为S 结论：a + bⲠ+ cⲠ> 4√3S 西姆松定理 𐟓 过三角形ABC外接圆上一点P作三边延长线的垂线结论：三个足M、N、Q共线海伦公式 𐟓˜ AABC三边分别为a、b、c 结论：S△ABC = p(p - a)(p - b)(p - c)，其中p = (a + b + c)/2 燕尾定理 𐟓– AABC中，AD、BE、CF相交于同一点O 结论：S△AOB = S△AOC = S△BOC / 2 拖勒密定理 𐟓š 四边形ABCD为内接四边形结论：ACⷂD = ABⷃD + ADⷂC，AC - BD < AB - CDⷁD - BC，当且仅当ABCD四点共线时等号成立九点圆 𐟓 三角形三边的中点，三条边的垂足和各顶点与心连线的中点共线结论：九点圆的半径是三角形外接圆半径的1/2，九点圆的圆心在欧拉线上，为三角形内心外心的中点，九点圆的三个切点分别是三角形的三个内心点垂美四边形 𐟓˜ 对角线互相垂直的四边形ACBD 结论：AB' + CD' = AD' + BC'，P是矩形内任意一点，PA' + PC' = PB' + PD' 维维亚尼定理 𐟓– P是三角形ABC内任意一点，P到三边的距离分别是h1、h2、h3，三角形ABC的高为H 结论：h1 + h2 + h3 = H 炫切角定理 𐟓š PA切于A，PB切于B，PC切于C 结论：LPAC = PA / PC = PB / PC 圆幂定理 𐟓 相交弦定理：弦AB与弦CD交于P，PAⷐB = PCⷐD 切线定：PQ切圆于Q，线PB、PO交圆于A、C，PAⷐB - PCⷐD = PQ'Ⲋ莫利定理 𐟓˜ AABC各内角的三等分线交点，构成的三角形ADEF为等边三角形笛沙格定理 𐟓– AABC和AAIBICI甲，AAI、BBI、CCI交于一点P，AB与AB的交点D，BC与BIC的交点E，AC与ACI的交点F，三点共线