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内接四边形前沿信息_内接四边形的性质(2024年12月实时热点)

内容来源：云川SEO所属栏目：教程更新日期：2024-12-02

内接四边形

九年级数学圆内接四边形重点难点练习 𐟓… 日期: 𐟖‹️ 姓名: 𐟏렧�纊 𐟔 变式1-2 (市南区二模) 如图，点D是圆上一点，C是弧ACB的中点。若LACB=116Ⱟ𜌥ˆ™BDC的度数是？ 𐟔 变式1-3 (碑林区校级模拟) 如图，在圆中，点D为AB的中点，CD为圆的直径，AE与BC交圆于点E。连接CE。若LECD=50Ⱟ𜌥ˆ™DCB=？ A. 10ⰊB. 15ⰊC. 20ⰊD. 25Ⰺ 𐟔 题型2圆内接四边形(求长度问题) 【例2】在圆内接四边形ABCD中，LA=60Ⱟ𜌁C为圆的直径，AD=3，CD=2，求BC的长。 𐟔 变式2-1 (盘锦) 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，D经过A,B,C四点，LACO=120Ⱓ€‚AB=4，则圆心点D的坐标是？ 𐟔 变式2-2 (南京期末) 如图，圆的半径长为4，弦AB的长为√2，点C在圆上，若LBAC=135Ⱟ𜌥ˆ™AC的长为？ 𐟔 变式2-3 （莒南县校级月考）如图，已知点A、B、C、D在已知圆上，ADBG，LADC=120Ⱟ𜌥œ†的半径为2。求证：AC是BCD的平分线；求圆内接四边形ABCD的周长。 𐟔 变式4-2 （滨湖区期中）如图，直线与圆相交于点B、D，点A、C是直线两侧的圆弧上的动点。若圆的半径为1，A=30Ⱟ𜌩‚㤹ˆ四边形ABCD的面积的最大值是？ 𐟔 变式4-3 （庐阳区校级模拟）如图，AB是圆的一条弦，C、D是圆上的两个动点，且在AB弦的异侧，连接CD。若AC=BG，AB平分LCBD，求证：AB=CD；若LADB=60Ⱟ𜌥œ†的半径为1，求四边形ACBD的面积最大值。

【圆中的相似模型】 (1)圆周角定理推论(直径所对圆周角为90Ⱟ𜛥Œ弧所对圆周角相等) (2)圆的内接四边形对角互补(通常是圆内外两个三角形相似) (3)已知线段比例关系，利用公共角及两边对应成比例证相似

𐟔 探索勾股定理的多种证明方法 𐟓– 勾股定理，一个数学界的经典定理，有着多种多样的证明方法。让我们一同探索其中的16种经典证明方式，领略数学的魅力！ 𐟎证法6】（项明达证明）通过制作两个全等的直角三角形，并拼接成一个多边形，利用相似三角形的性质和勾股定理来证明。 𐟓【证法11】（利用切割线定理证明）在直角三角形中，利用切割线定理，通过切线的性质和勾股定理来证明。 𐟌【证法12】（利用多列米定理证明）通过多列米定理，利用圆内接四边形的性质和勾股定理来证明。 𐟔【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）通过直角三角形的内切圆，利用切点和半径的关系以及勾股定理来证明。 𐟚룀证法14】（利用反证法证明）采用反证法，假设勾股定理不成立，然后通过逻辑推理得出矛盾，从而证明定理的正确性。 𐟔【证法15】（辛卜松证明）通过正方形的面积计算和勾股定理来证明。这些证明方法不仅展示了数学的严谨性，也让我们对勾股定理有了更深刻的理解。每一种证明方法都有其独特的魅力和深意，值得我们深入探究。

《平面四边形面积最大化探秘》探索平面四边形ABCD面积的最大值，是一场数学思维的盛宴。通过连接对角线AC，利用余弦定理巧妙转化，我们发现了面积与角度之间的微妙关系。当四边形成为圆内接四边形时，面积达到巅峰，展现了数学之美与和谐。不论是复杂公式推导，还是直观的海伦公式应用，都让我们领略到数学的无限魅力与可能。

九年级上册数学《圆》知识点全解析 𐟓š 圆的基本性质定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“Q”，读作“圆Q”。弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。直径：经过圆心的弦叫做直径。弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”。半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。同心圆与等圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆；圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弧、弦、圆心角的关系圆心角定义：如图所示，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对的其余各对量也相等。圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90Ⱗš„圆周角所对的弦是直径。圆内接多边形定义：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。性质：圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）。点和圆、直线与圆的位置关系点和圆的位置关系设O的半径为r，点P到圆心的距离OP为d，则有：点P在圆外：d > r 点P在圆上：d = r 点P在圆内：d < r 符号“≌”读作“等价于”，它表示从符号“≌”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端。圆的确定条件不在同一直线上的三点确定一个圆。三角形的外接圆定义：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。概念说明： “接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点。锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。反证法假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。这种方法叫做反证法。反证法是一种间接证明命题的方法。用反证法证明命题的一般步骤：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。直线和圆的位置关系相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点（圆心）的位置关系。切线的判定定理和性质定理切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。注意：切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线。切线的判定定理实际上是从“圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切”这个结论直接得出来的。切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直。切线长及切线长定理圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量。 𐟓– 掌握这些知识点，你将能够更好地理解和解决与圆相关的数学问题。加油，数学小达人！

𐟓š 初三数学知识点全解析（三）𐟓 ### 平行线与三角形平行线等分线段定理及其推论1、2 三角形、梯形的中位线定理平行线间的距离处处相等（例如，找面积相等的三角形）重要辅助线常连结四边形的对角线梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形作图：任意等分线段圆的基础知识圆的定义弦、直径；弧、等弧、优弧、劣弧、半圆；弦心距；等圆、同圆、同心圆等概念 “三点定圆”定理垂径定理及其推论 “等对等”定理及其推论与圆有关的角圆心角定义（等对等定理）圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）弦切角定义（弦切角定理）直线与圆的位置关系三种位置及判定与性质：相离、相切、相交切线的性质（重点）切线的判定定理（重点）圆的切线的判定方法切线长定理圆与圆的位置关系五种位置关系及判定与性质（重点：相切）外离、外切、相交、内切、内含相切（交）两圆连心线的性质定理两圆的公切线：定义和性质与圆有关的比例线段相交弦定理切割线定理正多边形与圆圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）三角形的外接圆、内切圆及性质圆的外切四边形、内接四边形的性质正多边形及计算：中心角、内角的一半等计算公式圆周长公式圆面积公式扇形面积公式弧长公式弓形面积的计算方法圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算点的轨迹六条基本轨迹作图作三角形的外接圆、内切圆平分已知弧作已知两线段的比例中项等分圆周：4、8；6、3等分基本图形与辅助线作半径见弦往往作弦心距见直径往往作直径上的圆周角切点圆心莫忘连两圆相切公切线（连心线）两圆相交公共弦

初中数学几何辅助线全攻略，轻松掌握！初中数学几何中，辅助线的添加是解题的关键。以下是各种与圆相关的辅助线类型，帮助你轻松应对各类几何问题。与圆有关的辅助线类型 𐟓 连半径构造圆心角：通过连接半径来构造圆心角，方便计算角度。构造同弧所对的圆周角：利用同弧所对的圆周角相等，简化计算。构造圆的内接四边形：通过内接四边形来证明或计算圆的性质。构造特殊三角形：利用特殊三角形来求解或证明圆的性质。与垂径定理有关的辅助线：利用垂径定理来证明或计算圆的性质。与切线有关的辅助线：通过切线来证明或计算圆的性质。内切圆与外接圆常作的辅助线：利用内切圆和外接圆的性质来解题。辅助圆：构造辅助圆来证明或计算圆的性质。中考切线真题辅助线：针对中考真题的切线辅助线，帮助你掌握解题技巧。数学提分小技巧 𐟓ˆ 课上的听讲理解胜于做好课堂数学笔记：数学是一门靠理解的学科，更侧重于能听得懂以及听的全。记笔记可以选择性纪录，不是一味的全部写，如果对笔记的完整性有要求，可以在课间完成。学会思考，学会提问：例题的作用是促进我们思考和巩固知识点、会一道题可以知其然知其所以然，便于举一反三，对于不同的经典例题一定要吃透。错题定期复习，定期重做：定期复习和重做错题，效果会比想象好很多。通过这些方法和技巧，你可以更好地掌握初中数学几何的辅助线添加方法，提升解题能力。

九年级上册数学知识点：圆 ### 圆的基本性质 𐟌ˆ 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“Q”，读作“圆Q”。圆的有关概念 𐟌 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。直径：经过圆心的弦叫做直径。弧的有关概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”。半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。垂直于弦的直径 ⊥ 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弧、弦、圆心角的关系 𐟌𑊥œ†心角定义：如图所示，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对的其余各对量也相等。圆周角 𐟌 圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90Ⱗš„圆周角所对的弦是直径。圆内接多边形 𐟔𙊤𘀤𘪥››边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。圆内接四边形的对角互补。圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）。点和圆、直线与圆的位置关系 𐟌Ÿ 点和圆的位置关系：设O的半径为r，点P到圆心的距离OPd，则有：点P在圆外：d>r 点P在圆上：d=r 点P在圆内：d

初中数学几何辅助线全攻略，轻松打印！今天为大家带来一份初中数学几何辅助线的详细汇总，包括解直角三角形、四边形、与圆有关的辅助线以及全等三角形等常见辅助线的类型。希望这些内容能帮助大家在数学学习中取得更好的成绩。 𐟔 解直角三角形常用辅助线这些辅助线可以帮助我们快速解决锐角三角函数和平面图形认识中的难题，如15Ⱓ€75Ⱓ€105Ⱓ€120Ⱓ€135Ⱓ€150Ⱗ퉩ž常规角度的问题。 𐟔 四边形中常作辅助线通过这些辅助线，我们可以更好地运用内割外补思想构造特殊三角形和四边形，培养添辅助线的意识。 𐟔 与圆有关的辅助线类型连半径构造圆心角构造同弧所对的圆周角构造圆的内接四边形构造特殊三角形与垂径定理有关的辅助线与切线有关的辅助线内切圆与外接圆常作的辅助线辅助圆中考切线真题辅助线 𐟔 全等辅助线与角平分线有关截取法构造全等延长垂线构造全等倍长中线构造全等作平行线构造全等旋转法构造全等 𐟔 数学提分小技巧课堂听讲理解胜于记笔记：数学是一门靠理解的学科，更侧重于能听得懂以及听的全。记笔记可以选择性记录，不是一味的全部写，如果对笔记的完整性有要求，可以在课间完成。学会思考和提问：例题的作用是促进我们思考和巩固知识点。会一道题可以知其然知其所以然，便于举一反三，对于不同的经典例题一定要吃透。定期复习错题：定期复习和重做错题，效果会比想象的好很多。希望这些内容能帮助大家在数学学习中取得更好的成绩！

初中数学几何辅助线全攻略，轻松提分！大家好！今天我来给大家分享一些初中数学几何辅助线的经典方法，特别适合那些在几何上遇到困难的小伙伴们。准备好笔记本，咱们开始吧！解直角三角形常用辅助线 𐟓 首先，解直角三角形时常用的辅助线非常有用。特别是在锐角三角函数和平面图形认识章节中，这些辅助线能帮你快速求解非常规角度，比如15Ⱓ€75Ⱓ€105Ⱓ€120Ⱓ€135Ⱓ€150Ⱗ퉧퉣€‚掌握了这些方法，解题就像砍瓜切菜一样简单。四边形中的辅助线 𐟓˜ 四边形中的辅助线能帮助你更好地运用内割外补思想，构造特殊三角形和四边形。通过这些辅助线，你可以培养添辅助线的意识，让解题过程更加顺畅。与圆有关的辅助线 𐟌• 与圆有关的辅助线类型也有很多种：连半径构造圆心角构造同弧所对的圆周角构造圆的内接四边形构造特殊三角形与垂径定理有关的辅助线与切线有关的辅助线内切圆与外接圆常作的辅助线辅助圆中考切线真题辅助线全等三角形中的辅助线 𐟔„ 全等三角形中的辅助线也有多种方法：与角平分线有关截取法构造全等延长垂线构造全等倍长中线构造全等作平行线构造全等旋转法构造全等数学提分小技巧 𐟓ˆ 最后，给大家分享一些数学提分的小技巧：上课听讲胜于记笔记：数学是一门靠理解的学科，更侧重于能听得懂以及听的全。记笔记可以选择性纪录，不是一味的全部写。如果对笔记的完整性有要求，可以在课间完成。学会思考和提问：例题的作用是促进我们思考和巩固知识点。会一道题可以知其然知其所以然，便于举一反三。对于不同的经典例题一定要吃透。错题定期复习：定期复习和重做错题效果会非常好。这样不仅能巩固知识点，还能提高解题技巧。希望这些方法和技巧能帮到大家，祝大家数学成绩蒸蒸日上！𐟓š