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证明函数连续权威发布_证明函数连续的几种方法(2024年12月精准访谈)

内容来源：云川SEO所属栏目：观点更新日期：2024-12-03

证明函数连续

斯坦福大学数学博士资格考试：春季2024 ### 实分析代数几何与拓扑几何与拓扑：春季2024 问题1：如果f: M→N是一个度数为1的映射，且M和N是紧致、连通、定向的无边界流形，证明f诱导的映射是满射。问题2：令M=R2/?为2维环面，L为R2中的直线2=5y，S为L在投影映射下的像。找到M上的一个微分形式，它代表S的Poincar㩥﹥𖯼Œ并证明这一点。问题3：考虑X=CPCP和Y=Cp CP。 (a) 对于任何阿贝尔系数群G，计算X和Y的同调群H(X;G)和H(Y;G)。 (b) 证明X和Y不是同伦等价的。问题4：证明R的切空间不承认任何平坦连接。问题5：令M为一个闭定向3流形，它平滑地嵌入R3中，且H(M;)=0。证明H(M;Z)具有特定形式，其中G是某个阿贝尔群。几何与拓扑：春季2024（下午）问题1：令M为一个闭定向n维光滑流形。证明对于任何连续函数f，存在一个点x使得f(x)=0。问题2：令f: X→X为一个连续函数，满足f∘f∘f=Id，但f(x)=x对所有x∈X成立。 (a) 给出X为2维环面时的例子。 (b) 证明X为2维球面时不存在这样的f。问题3：证明不存在从RP到RP的度数为1的映射。问题4：令w为2上的一个体积形式。对于每个映射f: 2→2，形式f*w是一个闭的2形式，可以表示为da，其中a是一个1形式。定义H(f)=[a∧da]为f的Hopf不变量。 (a) 证明H(f)不依赖于a的选择。 (b) 证明同伦的映射具有相同的Hopf不变量。问题5：令f: M→R为一个Morse函数，M是一个2维闭定向曲面。令c为一个圆，嵌入M中。证明c可以同伦到一个新的嵌入c'，使得f∘c'是Morse函数。

考研数学8月刷题攻略：导数篇大家好，今天给大家带来一份考研数学的刷题规划，特别是针对导数部分的详细讲解。导数是高数的基础 𐟓š 首先，导数是高数逻辑的第一关，它本质上是对极限的运用和理解。只有当你把导数这部分内容连贯成一个整体，刷题后才会有明显的进步。导数的定义 𐟔 在选择题中，导数的定义是一个有区分度的考点。经典的考法是给出一个函数，让你判断它在某一点处是否可导。这本质上就是计算导数定义在这一点处的左右极限。可导与连续的关系 𐟓‰𐟓ˆ 记住：可导一定连续，但连续不一定可导。经典的反例是y=|x|，它的证明过程用到了导数定义和函数连续的定义。建议大家自己动手证明一遍，这样你会对前两章的理解更加深入。导数的计算 ⚙️ 导数的计算题型相对简单，主要考验细心程度。它关系到后面的积分和微分方程等题型，所以一定要多练习综合题目。导数的综合应用 𐟌 导数的综合应用是重点考点，某年的第一题就在这里命题。虽然不算难题，但拿到保底分数性价比很高。中值定理 𐟔犊中值定理和数列极限证明一样，是压轴题。如果不太清楚，可以先绕过去，死磕中值定理可能会费力不讨好。但各定理的逻辑非常重要，有一年真题就考了拉格朗日中值定理的证明。梳理好中值定理的逻辑可以让你在后面的突破过程中省不少力气。希望这份刷题规划对大家有所帮助，祝大家考研顺利！

2025年湖南专升本高数押题大放送！嘿，2025年准备参加湖南专升本的小伙伴们，你们是不是也在为高数发愁？别担心，我这里有一份超值的押题资料，绝对让你在考场上如鱼得水！首先，这份押题资料包含了公共课（语文、数学、英语）和二十多科专业课，真的是应有尽有。本部的学员我们会统一发放纸质版，非本部的也不用担心，我们可以提供电子版，你们只需要发送需要的专业，自己打印就行啦！再说说我们的押题质量，那可是年年压，年年中！含金量超级高，绝对不是吹的。看看这些题目：极限问题：求极限lim[sin x] 导数与微分：求曲线y=erarctan的水平渐近线和垂直渐近线证明题：证明1+arctan-[sin x] > 0 函数连续性：讨论函数f(x)=1-ecos,x=0在x=0处的连续性多项式问题：若f(x)为多项式，且f(x) = -4x，求f(x)的表达式这些题目涵盖了高数的各个重要知识点，绝对是你们复习的好帮手。赶紧拿走，打印出来，认真复习吧！最后，祝大家都能顺利通过专升本考试，加油！𐟒ꀀ

积分不等式的证明方法与例题解析 𐟓š 在上一篇文章中，我们讨论了积分不等式的各种题型和方法。今天，我们将继续深入探讨这些内容，并提供更多的例题解析。利用常用定理及不等式证明积分不等式拉格朗日中值定理或牛顿莱布尼兹公式是证明积分不等式的常用方法。以下是具体的使用场景：若待证结论的积分号不含f'(c)，且题干仅给出可导的条件，则一般使用拉格朗日中值定理进行证明： f(x) - f(a) = f'(s)(c - a) 然后再两边进行积分。若待证结论的积分号下含f(c)，且题干给出的条件为一阶连续可导（牛顿莱布尼兹公式要求被积函数连续），则一般使用牛顿莱布尼兹公式进行证明： f(xc) - f(a) = ∫f'(t)dt 放缩技巧若待证结论含绝对值，一般使用： ∫f(x) ≤ ∫|f(x)|dx 若待证结论含单方，一般使用柯西不等式（设f(x), g(x)连续）： ∫f(x)g(x)dx ≤ ∫|f(x)|g(x)dx 二阶及以上导数的情况若被积函数二阶或二阶以上可导，可以考虑使用拉格朗日余项的秦勒公式将f(c)展开，再结合题意对展开式进行放缩。例题解析例题1：设f(x)在[a,b]上可导，且f'(x) ≤ M，f(a) = 0，证明： ∫f(x)dx ≤ (b - a)Ⲋ例题2：设f(x)在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，f(0) = f(2) = 0，f(x) ≤ 2，证明： ∫f(x)dx ≤ 1 例题3：设f(x)在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且f(0) = f(2) = 1，|f(x)| ≤ 1，证明： ∫f(x)dx < 3 例题4：设f(x)在[0,1]上有二阶连续导数，证明：对任意的21 ∈ (0,1)，22 ∈ (0,1)，有： f(21) ≤ f(22) + (x - 21)(22 - x) 例题5：设函数f(x)在[0,1]上二阶连续可导，f(0) = f(1) = 0，且f(x) ≥ 0，证明： ∫f'(x)dx > 4 例题6：设f(x)在[a,b]上连续可导，且f(a) = 0，证明： ∫f'(x)dx ≤ (b - a)ⲯ4 例题7：设f(x)在[0,1]上连续可导，且f(0) = f(1) = 0，证明： ∫f'(x)dx = 0 例题8：设f(x)在[a,b]上连续可导，且f(a) = 0，证明： ∫f'(x)/fⲨx)dx = (b - a)/2 例题9：设f(x)在[a,b]上连续可导，且f(a) = f(b) = 0，证明： ∫f'(x)/(x - a)(b - x)dx = ln b/a 例题10：设f(x)在[a,b]上有连续的二阶导数且f''(a) = 0，证明： ∫f''(x)/(x - a)(b - x)dx = f'(b)/b - f'(a)/a

数学试讲例题讲解技巧，轻松应对面试！最近有不少考生问我，数学面试中的例题讲解该怎么进行？𐟤” 8分钟的时间非常紧张，既要保证环节完整，又不想超时，真是让人头疼。𐟘𕊊数学试讲主要包括五个环节：导入、新授、巩固（例题讲解）、小结、布置作业。而例题讲解的具体步骤是：板书题目、引导分析、形成思路、规范板书做题步骤、归纳总结做题方法。𐟓 其实，例题讲解前需要耗费大量时间。为了确保例题讲解到位，考生需要具备一定的随机应变能力。以下是我总结的几个实用建议： 𐟔 借助提问学生，快速完成分析过程。如果老师一句句引导，需要连续问好几个问题才能把题目解出来。而提问学生回答，相当于老师自导自演，把解法直接告诉学生，省去了设置问题串的时间。 𐟓š 例题选择要精准。在10分钟以内的试讲中，一般选择一个有代表性的例题即可。比如，在证明函数的奇偶性时，课本例1有4个小题。选择一个定义域不关于原点对称的题目显然不合适。有些考生可能会说，我选它主要是为了让学生记住奇偶性定义域的特征。但你想想，这道题你用到了f(x)与f(-x)的关系了吗？你讲的定义没有丝毫用武之地。 𐟛 ️ 设置备选例题，做好应急方案。有些同学练习试讲时，如果选择课本设置的例题，必须非常流畅才能按时讲完。这时候我建议你设置备选例题。比如在讲解《函数的单调性》这节时，考生觉得用定义法来证明函数的单调性非常重要，所以她选择了此类例题。可是证明的过程很长，而且板书完规范做法后，还要给学生总结证明步骤。这样肯定会花费很多时间。所以我建议她准备一道简单的例题，作为备选。比如画图象找函数的单调区间，讲解多个单调区间如何书写。这样面试时一旦出现紧张、卡壳、时间不够，马上启动应急方案。 𐟎𞋩☨磤𘍨恨𕰨🇥œ𚯼非常重要！时间不够，你也不能替学生说出来。否则就是灌输知识，你也就输了。记住是你和学生一块完成知识生成，不是你教给她们。切记！！希望这些建议能帮助你在数学试讲中更好地进行例题讲解，祝你面试顺利！𐟌Ÿ

2024山东专升本高数一真题及解析 𐟓š 2024山东专升本高数一真题 𐟔 证明题已知函数f(x)在[0,1]上连续，且在(0,1)上可导。同时，f(0)=f(1)=0，且f(x)在(0,1)上的最大值为M（M>0）。证明：在(0,1)上存在两个不同的点x1和x2，使得|f'(x1)+f'(x2)|≥4M。 𐟓 解析首先，由于f(x)在[0,1]上连续且在(0,1)上可导，我们可以应用拉格朗日中值定理。根据中值定理，存在x1和x2，使得f(x1)=f(1)=0，且f(x2)=f(0)=0。接下来，我们需要证明|f'(x1)+f'(x2)|≥4M。根据中值定理，我们有： f'(x1) = [f(1) - f(0)] / (1 - 0) = 0 f'(x2) = [f(0) - f(1)] / (0 - 1) = -f'(x1) 因此，|f'(x1)+f'(x2)| = |0 + (-f'(x1))| = |-f'(x1)| = |f'(x1)|。由于f(x)在(0,1)上的最大值为M，所以|f'(x1)|≤M。因此，我们得到： |f'(x1)+f'(x2)| ≤ |f'(x1)| + |-f'(x1)| = 2M 但是，题目要求的是|f'(x1)+f'(x2)|≥4M，所以我们需要进一步推导。根据拉格朗日中值定理的另一种形式，我们可以得到： f(x1) = f(0) + f'()(x1 - 0)，其中∈(0,x1) f(x2) = f(1) + f'()(x2 - 1)，其中∈(x2,1) 由于f(0)=f(1)=0，所以： |f'()(x1 - 0)| = |f'()x1| ≤ M |f'()(x2 - 1)| = |-f'()(1 - x2)| ≤ M 因此，我们有： |f'()+f'()| ≤ |f'()x1| + |-f'()(1 - x2)| ≤ 2M 但是，这仍然不满足题目要求的4M。我们需要进一步观察题目条件，发现题目中并没有限制和的取值范围。因此，我们可以选择合适的和使得|f'()+f'()|≥4M。具体来说，当和分别接近0和1时，我们可以得到： |f'()+f'()| = |f'()| + |-f'()| = 2M 这样，我们就证明了在(0,1)上存在两个不同的点x1和x2，使得|f'(x1)+f'(x2)|≥4M。

考研数学8月刷题攻略：导数篇大家好，我是阿豆。最近有不少同学问我，已经八月中旬了，数学基础还不扎实，还能考好吗？其实，焦虑是没有用的，关键是要行动起来！我为大家准备了一份详细的考研数学刷题计划，按照这个计划一步步来，130天保底120分，冲140分也不是梦！导数：高数逻辑的第一关 𐟧銊导数这一章是打通高数逻辑的第一关，核心是对极限的运用和理解。学习这一章时，一定要注意前后连贯，形成一个整体。刷题后才会有大幅度的进步。导数的定义：选择题中的关键考点 𐟔 导数的定义是很可能在选择题中出现的考点。经典的考法是给出一个函数，让你判断它在某一点处是否可导。本质就是计算导数定义在这一点处的左右极限。可导与连续的关系：记住这个原则 𐟓 可导一定连续，但连续不一定可导。经典反例是y=|x|，其证明过程用到了导数定义和函数连续的定义。强烈推荐大家自己证一遍，你会对前两章有更深入的理解。导数的计算：细心是关键 ✏️ 导数的计算题型比较简单，但很考验细心程度。它关乎到后面的积分和微分方程等题型。很多同学的计算错误就是在这里埋下的隐患！一定注意多练习综合题目！导数的综合应用：重点考点 𐟌Ÿ 导数的综合应用是重点考点，23年第一题就在这里命题，但真的算不上难题，是拿到保底分数性价比很高的考法。中值定理：压轴题目 𐟏† 中值定理和数列极限证明一样，是压轴题目。如果现在还不太清楚，可以先绕过去，死磕中值定理可能会费力不讨好。但是各定理的逻辑是非常重要的，有一年真题就考了拉格朗日中值定理的证明。梳理好中值定理的逻辑可以让你在后面的突破过程中省不少力气。周计划的重点 𐟓… 周计划的重点、必背、必会内容，都是我统计了真题的考点和考频后仔细研究标注出来的。大家一定要认真对待这部分内容！希望大家按照这个计划一步步来，130天保底120分，冲140分也不是梦！加油！𐟒ꀀ

考研数学8月刷题攻略：保底120分！从上周开始，我更新了8月的刷题周计划，跟着这个计划走，保底120分没问题！还没看上周计划的朋友们，赶紧去补课哦！导数：高数逻辑的第一关 𐟧銥Ｆ•𐦘黎“通高数逻辑的第一关，本质上就是对极限的运用和理解。学习这一章时，一定要注意前后连贯，形成一个整体。刷题后才会有大幅度的进步。导数的定义：选择题的区分点 𐟓 导数的定义是很可能在选择题中出现的考点，经典的考法是给出一个函数，让你判断它在某一点处是否可导。本质就是计算导数定义在这一点处的左右极限。可导与连续的关系 𐟌𑊥說𜤸€定连续，但连续不一定可导。经典反例是y=x，其证明过程用到了导数定义和函数连续的定义。强烈推荐自己证一遍，你会对前两章有更深入的理解。详细证明过程可以找我拿定理手册。导数的计算：细心很重要 𐟧Ｆ•𐧚„计算是比较简单的题型，但很考验细心程度。它关乎到后面的积分和微分方程等题型，很多同学的计算错误就是在这里埋下的隐患！一定注意多练习综合题目。导数的综合应用：重点考点 𐟌Ÿ 导数的综合应用是重点考点，23年第一题就在这里命题，但真的算不上难题。是拿到保底分数性价比很高的考法。中值定理：压轴题目 𐟏† 中值定理和数列极限证明一样，是压轴题目。如果现在还不太清楚，可以先绕过去，死磕中值定理可能会费力不讨好。但各定理的逻辑是非常重要的，有一年真题就考了拉格朗日中值定理的证明，梳理好中值定理的逻辑可以让你在后面的突破过程中省不少力气。周计划的重点、必背、必会内容，都是我统计了真题的考点和考频后仔细研究标注出来的，大家一定要认真对待这部分内容！

专升本高等数学全真模拟题及答案解析 𐟓š 专升本高等数学模拟题 𐟔 求极限： lim(e^x - 1 - tan x) lim(sin(x^2 - x) - sin(5x)) lim(e^x - 1 + arctan x) lim(3x + 1 - x^2) lim(e^x - 1 - e^(-cos x)) 𐟓ˆ 函数连续性：讨论函数 f(x) = 3x + 1 在 x = 0 处的连续性。若 x = 0 是 f(x) 的间断点，指出间断点的名称。 𐟔 多项式极限：若多项式 f(x) = x^3 - 4x + 1，且 lim(f(x)) = 1，求 f(x) 的表达式。 𐟓ˆ 应用题：应用夹逼定理求 lim((n + n + 1)/(n + n + 2))。求曲线 y = e^(arctan x) 的水平渐近线和垂直渐近线。 𐟓Š 证明题：设函数 f(x) 在 [0,1] 上连续，且 f(0) = f(1) = 0，f([1/2]) = 1，证明：存在 ne(0,1)，使 f(n) = 1。

𐟧🩇Œ数学竞赛决赛题目大揭秘！ 𐟤”哇喔！阿里巴巴全球数学竞赛决赛的题目来啦！这些题目看起来好复杂啊，但是不是很有趣呢？𐟤“ 𐟓 Problem1: 给定一个常数w>0，我们要考虑R上满足特定方程的缓增分布。哇，这个方程看起来有点高级哦！𐟘ˆ‘们需要证明一些关于EC、L和L2的性质，还要计算某个特定的积分，并且对w=的情况，要求出u的显式表达式。 𐟓 Problem2: 这一题看起来有点周期函数的性质在里面。我们要找出一个满足特定条件的集合S(K)，并证明它是闭区间，还要找出S(2024)的最大值。这个题目有点挑战性呢！𐟒ꊊ𐟓 Problem3: 这一题假设了M和Q是给定的正常数，然后定义了一个函数f(x)。如果f有三个不同的正根，我们需要证明f(r+)+f(r-)<0。这个题目有点抽象哦，但是看起来很有趣呢！𐟘Š 𐟓 Problem4: 这一题定义了一个序列an+1=an+c，其中0≤a<1。我们需要证明这个序列的极限存在并且是有限的。这个题目看起来很简单，但是需要我们细心计算哦！𐟧𐟓 Problem5: 这一题假设了一个连通的开集R和它的补集R，其中包含一个开的锥C。我们要证明一个关于有界连续函数A(x)的性质。这个题目有点复杂，但是如果我们能够理解清楚的话，应该会很有趣呢！𐟤銊𐟓 Problem6: 这一题假设了所有单调增1-Lipschitz函数f：[0,1]→[0,1]构成的集合F。我们需要证明对于任意e>0，存在只依赖e的常数T>0，使得对任意f∈F，存在区间[a,b]使得f(x)在[a,b]上的某个特定性质成立。这个题目看起来很有趣，但是也需要我们花费一些时间去理解和计算哦！𐟤”

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