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如何证明函数连续新上映_如何证明函数连续可导(2024年12月抢先看)

内容来源：云川SEO所属栏目：导读更新日期：2024-12-04

如何证明函数连续

如何用复分析证明代数基本定理？𐟤” 代数基本定理告诉我们，任意一个非常值多项式在复数域上至少有一个根。这个定理的证明可以通过复分析中的最大模原理来实现。下面我们来详细看看这个证明过程。最大模原理的引入首先，我们需要了解最大模原理。这个原理告诉我们，如果G是一个连通且开集，那么定义在G上的复值函数中，取到最大模的函数一定是常值函数。用数学语言表示就是：定理2.1（最大模原理）：如果G是一个连通且开集，f: G→C是一个解析函数，并且存在点a∈G使得|f(a)|≥|f(z)|∀z∈G，那么f是一个常值函数。利用最大模原理证明代数基本定理现在我们来应用这个原理来证明代数基本定理。假设p(z)是一个非常值多项式，我们可以通过构造一个辅助函数来证明p(z)至少有一个复根。构造辅助函数首先，我们取一个圆盘B(0,r)，使得r>0且|p(0)|>1。然后我们定义一个辅助函数f(z)=1/p(z)。由于p是连续的，且B(0,r)是紧集，所以f在B(0,r)上取到最小值a。利用最大模原理由于f在B(0,r)上取到最小值a，且对于边界上的点，|p(z)|>1，所以1/p在B(0,r)上取到最大值1/a。根据最大模原理，1/p是一个常值函数。但这与p是非常值多项式矛盾，因此我们得出结论：p至少有一个复根。总结通过上述证明，我们可以看到，利用复分析中的最大模原理，我们可以非常直观地证明代数基本定理。这个方法不仅展示了复分析的强大工具，也为我们理解多项式和复数提供了一个新的视角。

斯坦福大学数学博士资格考试：春季2024 ### 实分析代数几何与拓扑几何与拓扑：春季2024 问题1：如果f: M→N是一个度数为1的映射，且M和N是紧致、连通、定向的无边界流形，证明f诱导的映射是满射。问题2：令M=R2/?为2维环面，L为R2中的直线2=5y，S为L在投影映射下的像。找到M上的一个微分形式，它代表S的Poincar㩥﹥𖯼Œ并证明这一点。问题3：考虑X=CPCP和Y=Cp CP。 (a) 对于任何阿贝尔系数群G，计算X和Y的同调群H(X;G)和H(Y;G)。 (b) 证明X和Y不是同伦等价的。问题4：证明R的切空间不承认任何平坦连接。问题5：令M为一个闭定向3流形，它平滑地嵌入R3中，且H(M;)=0。证明H(M;Z)具有特定形式，其中G是某个阿贝尔群。几何与拓扑：春季2024（下午）问题1：令M为一个闭定向n维光滑流形。证明对于任何连续函数f，存在一个点x使得f(x)=0。问题2：令f: X→X为一个连续函数，满足f∘f∘f=Id，但f(x)=x对所有x∈X成立。 (a) 给出X为2维环面时的例子。 (b) 证明X为2维球面时不存在这样的f。问题3：证明不存在从RP到RP的度数为1的映射。问题4：令w为2上的一个体积形式。对于每个映射f: 2→2，形式f*w是一个闭的2形式，可以表示为da，其中a是一个1形式。定义H(f)=[a∧da]为f的Hopf不变量。 (a) 证明H(f)不依赖于a的选择。 (b) 证明同伦的映射具有相同的Hopf不变量。问题5：令f: M→R为一个Morse函数，M是一个2维闭定向曲面。令c为一个圆，嵌入M中。证明c可以同伦到一个新的嵌入c'，使得f∘c'是Morse函数。

考研数学8月刷题攻略：导数篇大家好，今天给大家带来一份考研数学的刷题规划，特别是针对导数部分的详细讲解。导数是高数的基础 𐟓š 首先，导数是高数逻辑的第一关，它本质上是对极限的运用和理解。只有当你把导数这部分内容连贯成一个整体，刷题后才会有明显的进步。导数的定义 𐟔 在选择题中，导数的定义是一个有区分度的考点。经典的考法是给出一个函数，让你判断它在某一点处是否可导。这本质上就是计算导数定义在这一点处的左右极限。可导与连续的关系 𐟓‰𐟓ˆ 记住：可导一定连续，但连续不一定可导。经典的反例是y=|x|，它的证明过程用到了导数定义和函数连续的定义。建议大家自己动手证明一遍，这样你会对前两章的理解更加深入。导数的计算 ⚙️ 导数的计算题型相对简单，主要考验细心程度。它关系到后面的积分和微分方程等题型，所以一定要多练习综合题目。导数的综合应用 𐟌 导数的综合应用是重点考点，某年的第一题就在这里命题。虽然不算难题，但拿到保底分数性价比很高。中值定理 𐟔犊中值定理和数列极限证明一样，是压轴题。如果不太清楚，可以先绕过去，死磕中值定理可能会费力不讨好。但各定理的逻辑非常重要，有一年真题就考了拉格朗日中值定理的证明。梳理好中值定理的逻辑可以让你在后面的突破过程中省不少力气。希望这份刷题规划对大家有所帮助，祝大家考研顺利！

数学试讲例题讲解技巧，轻松应对面试！最近有不少考生问我，数学面试中的例题讲解该怎么进行？𐟤” 8分钟的时间非常紧张，既要保证环节完整，又不想超时，真是让人头疼。𐟘𕊊数学试讲主要包括五个环节：导入、新授、巩固（例题讲解）、小结、布置作业。而例题讲解的具体步骤是：板书题目、引导分析、形成思路、规范板书做题步骤、归纳总结做题方法。𐟓 其实，例题讲解前需要耗费大量时间。为了确保例题讲解到位，考生需要具备一定的随机应变能力。以下是我总结的几个实用建议： 𐟔 借助提问学生，快速完成分析过程。如果老师一句句引导，需要连续问好几个问题才能把题目解出来。而提问学生回答，相当于老师自导自演，把解法直接告诉学生，省去了设置问题串的时间。 𐟓š 例题选择要精准。在10分钟以内的试讲中，一般选择一个有代表性的例题即可。比如，在证明函数的奇偶性时，课本例1有4个小题。选择一个定义域不关于原点对称的题目显然不合适。有些考生可能会说，我选它主要是为了让学生记住奇偶性定义域的特征。但你想想，这道题你用到了f(x)与f(-x)的关系了吗？你讲的定义没有丝毫用武之地。 𐟛 ️ 设置备选例题，做好应急方案。有些同学练习试讲时，如果选择课本设置的例题，必须非常流畅才能按时讲完。这时候我建议你设置备选例题。比如在讲解《函数的单调性》这节时，考生觉得用定义法来证明函数的单调性非常重要，所以她选择了此类例题。可是证明的过程很长，而且板书完规范做法后，还要给学生总结证明步骤。这样肯定会花费很多时间。所以我建议她准备一道简单的例题，作为备选。比如画图象找函数的单调区间，讲解多个单调区间如何书写。这样面试时一旦出现紧张、卡壳、时间不够，马上启动应急方案。 𐟎𞋩☨磤𘍨恨𕰨🇥œ𚯼非常重要！时间不够，你也不能替学生说出来。否则就是灌输知识，你也就输了。记住是你和学生一块完成知识生成，不是你教给她们。切记！！希望这些建议能帮助你在数学试讲中更好地进行例题讲解，祝你面试顺利！𐟌Ÿ

大学数学速成攻略：微积分篇嘿，朋友们！上次我分享了如何用两三天速成大学数学或统计期末考试的方法，没想到还有不少人问我具体该怎么操作。今天我就再来总结一下，顺便举个微积分的例子，希望大家能举一反三，学会方法后每门课的复习都不再是问题。速成方法论 𐟓š 首先，你需要找到老师总结的课程笔记，大概100页以内。如果老师没给，那就去求学霸吧，或者上网搜Oxford这门课的笔记，肯定能找到。花两天时间，每天10小时左右，把笔记看完，定义定理背熟，证明也尽量背下来。然后再花半天时间看看老师布置的作业题和往年试卷，时间不够的话只看思路不用做。微积分的速成要点 𐟓– 看完笔记后，你对这些基本的定义定理有概念吗？比如Epsilon-delta版本的连续、极限、可导、黎曼可积定义，这些定义怎么从一元函数推广到多元函数，尤其是二元函数。还有可导与连续的关系和反例，二元函数如何沿着不同路径求极限和偏导，证明二元函数在某点极限不存在、不连续或者不可导有哪些方法。一元积分怎么做换元尤其是三角变换，分步积分。一元、二元、三元积分的几何或物理意义。两种线积分的物理意义和表示方法，包括换元法（尤其是polar coordinate, cylindrical coordinate, sphere coordinate）在内的计算方法。关于线积分有三大著名定理：Green’s theorem, Stoke’s theorem, Divergence theorem，你能立刻默写出来吗？知道这些定理涉及的vector field, flux, divergent是什么定义，并且能应用到计算题上吗？最后一条，这条本来大家高中都会的但很多人大学就忘了：把你会做的都做对，不会做的放弃。别因为担心漏掉什么没复习的就紧张不敢做题。希望这些方法能帮到你们，祝大家期末考试顺利通过！𐟒ꀀ

数学分析每日一题：定积分的可积性探讨 𐟓š ### 定积分的可积性理论 𐟓 在西南交通大学的2022年考研题中，我们探讨了定积分的可积性。已知条件是数列an的极限存在，即an→a(n→∞)。由于函数fx有界，我们可以找到一个常数M，使得｜fx｜≤M。接下来，我们定义𘺩‚𛥟Ÿ比较2M和区间长度中的较小值。由于极限存在，我们知道在[a+𜌢]区间内有限个间断点。根据可积函数类定理，我们可以得出在这个区间上函数是可积的。为了证明这一点，我们利用分割法，从△2,△3,...,△n开始，然后在补充区间[a，a+，得到新的分割。通过不等式，我们可以证明函数在该区间上是可积的。反证法的应用 𐟚늊在四川大学的2022年考研题中，我们使用了反证法来证明函数的可积性。已知函数fx在[a，b]上可积，这意味着fx在[a，b]上的连续点处处稠密。我们取一个连续点𜌤𝿥𞗦(≤0。利用分割和极限，我们可以得出fx在[a，b]上的积分≤0，这与已知条件矛盾。因此，利用保号性，我们可以找到一个∈[c，d]⊆[a，b]，使得f()＞0，从而证明函数在[a，b]上是可积的。保号性的运用 𐟔 在河北工业大学的2022年考研题中，我们再次使用了反证法。已知函数fx在[a，b]上有有限个间断点，我们可以取一个连续点x0，并利用保号性得到∃x0∈[c，d]⊆[a，b]，使得f(x)≥f(x0)＞0。通过积分不等式，我们可以得到矛盾，从而证明函数在[a，b]上是可积的。通过这些题目，我们可以看到定积分的可积性理论在实际应用中的重要性，以及如何在不同的情境下运用这一理论来解决问题。

普林斯顿微积分读本：数学爱好者的必备指南如果你对微积分有浓厚的兴趣，那么《普林斯顿微积分读本》绝对是你的不二之选。这本书深入浅出地讲解了微积分的各种技巧，从基础到高级，内容丰富，逻辑严密。 𐟓š 本书分为30个篇章，外加两个附录，主要对一些重要的定理进行证明。从最基本的函数图像、极限、导数开始讲起，逐步深入到微分方程和积分的方法。每一篇文章都展示了作者深厚的数学功底，让人不禁感叹。 𐟔 书中详细讲解了微积分基础、极限、连续、微分、导数的应用、积分、无穷级数、泰勒级数与幂级数等内容。作者的目的不仅仅是传授知识，更是教会读者如何思考问题，从而找到解题所需的知识点，着重训练解答问题的能力。 𐟒ᠦ— 论你是数学爱好者还是学生，这本书都能帮助你更好地理解微积分的本质，掌握解题技巧，提升数学素养。相信读完这本书后，你会对微积分有一个全新的认识。

2024山东专升本高数一真题及解析 𐟓š 2024山东专升本高数一真题 𐟔 证明题已知函数f(x)在[0,1]上连续，且在(0,1)上可导。同时，f(0)=f(1)=0，且f(x)在(0,1)上的最大值为M（M>0）。证明：在(0,1)上存在两个不同的点x1和x2，使得|f'(x1)+f'(x2)|≥4M。 𐟓 解析首先，由于f(x)在[0,1]上连续且在(0,1)上可导，我们可以应用拉格朗日中值定理。根据中值定理，存在x1和x2，使得f(x1)=f(1)=0，且f(x2)=f(0)=0。接下来，我们需要证明|f'(x1)+f'(x2)|≥4M。根据中值定理，我们有： f'(x1) = [f(1) - f(0)] / (1 - 0) = 0 f'(x2) = [f(0) - f(1)] / (0 - 1) = -f'(x1) 因此，|f'(x1)+f'(x2)| = |0 + (-f'(x1))| = |-f'(x1)| = |f'(x1)|。由于f(x)在(0,1)上的最大值为M，所以|f'(x1)|≤M。因此，我们得到： |f'(x1)+f'(x2)| ≤ |f'(x1)| + |-f'(x1)| = 2M 但是，题目要求的是|f'(x1)+f'(x2)|≥4M，所以我们需要进一步推导。根据拉格朗日中值定理的另一种形式，我们可以得到： f(x1) = f(0) + f'()(x1 - 0)，其中∈(0,x1) f(x2) = f(1) + f'()(x2 - 1)，其中∈(x2,1) 由于f(0)=f(1)=0，所以： |f'()(x1 - 0)| = |f'()x1| ≤ M |f'()(x2 - 1)| = |-f'()(1 - x2)| ≤ M 因此，我们有： |f'()+f'()| ≤ |f'()x1| + |-f'()(1 - x2)| ≤ 2M 但是，这仍然不满足题目要求的4M。我们需要进一步观察题目条件，发现题目中并没有限制和的取值范围。因此，我们可以选择合适的和使得|f'()+f'()|≥4M。具体来说，当和分别接近0和1时，我们可以得到： |f'()+f'()| = |f'()| + |-f'()| = 2M 这样，我们就证明了在(0,1)上存在两个不同的点x1和x2，使得|f'(x1)+f'(x2)|≥4M。

𐟎‰四年后的突破：CLT证明之旅𐟚€ 𐟔 第一次遇见CLT 当老师第一次提及CLT时，他告诉我们这几乎是不可能的，只需了解即可。从那时起，我从未深入探究。 𐟎𒠥Ž𛥹𔨀ƒ科大，我选择了冒险，认为CLT不会出现在考卷上。然而，这次是我第一次能够完整地不看书写出CLT的证明。 𐟓 捋顺证明思路通过整理SLLN、LLN和CLT的所有证明思路，我逐渐掌握了这些概念。只有学习概率论的人才能理解我此刻的喜悦。 𐟓ˆ 图片中的证明细节 [图片1]: Lindeberg条件下的CLT证明，利用特征函数的连续性，证明了和的存在性。 [图片2]: SLLN（强大数定律）的证明，通过Kolmogorov的强大数定律，证明了随机变量的收敛性。 𐟔 总结通过这次经历，我不仅加深了对CLT的理解，还体验到了学习的乐趣。这是一次难忘的数学之旅，让我对概率论有了全新的认识。

2025年湖南专升本高数押题大放送！嘿，2025年准备参加湖南专升本的小伙伴们，你们是不是也在为高数发愁？别担心，我这里有一份超值的押题资料，绝对让你在考场上如鱼得水！首先，这份押题资料包含了公共课（语文、数学、英语）和二十多科专业课，真的是应有尽有。本部的学员我们会统一发放纸质版，非本部的也不用担心，我们可以提供电子版，你们只需要发送需要的专业，自己打印就行啦！再说说我们的押题质量，那可是年年压，年年中！含金量超级高，绝对不是吹的。看看这些题目：极限问题：求极限lim[sin x] 导数与微分：求曲线y=erarctan的水平渐近线和垂直渐近线证明题：证明1+arctan-[sin x] > 0 函数连续性：讨论函数f(x)=1-ecos,x=0在x=0处的连续性多项式问题：若f(x)为多项式，且f(x) = -4x，求f(x)的表达式这些题目涵盖了高数的各个重要知识点，绝对是你们复习的好帮手。赶紧拿走，打印出来，认真复习吧！最后，祝大家都能顺利通过专升本考试，加油！𐟒ꀀ

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